2618. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Prvo ćemo funkciju $\cos^5 x$ napisati kao proizvod $\cos^4 x \cdot \cos x ,$ a zatim ćemo iskoristiti identitet za kvadrat kosinusa.

\cos^5 x = (\cos^2 x)^2 \cdot \cos x = \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^2 \cdot \cos x

Kvadriramo izraz u zagradi i množimo sa $\cos x .$

\cos^5 x = \frac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} \cdot \cos x = \frac{1}{4} (\cos x + 2\cos 2x \cos x + \cos^2 2x \cos x)

Sada primenjujemo formulu za proizvod kosinusa $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$ na srednji član.

2 \cos 2x \cos x = 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos(2x + x) + \cos(2x - x)) = \cos 3x + \cos x

Zatim transformišemo treći član $\cos^2 2x \cos x$ koristeći ponovo formulu za kvadrat ugla.

\cos^2 2x \cos x = \frac{1 + \cos 4x}{2} \cdot \cos x = \frac{1}{2} (\cos x + \cos 4x \cos x)

Primenjujemo formulu za proizvod na preostali deo $\cos 4x \cos x .$

\cos 4x \cos x = \frac{1}{2} (\cos 5x + \cos 3x)

Sređujemo izraz za treći član.

\cos^2 2x \cos x = \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{4} (\cos 5x + \cos 3x) = \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{4} \cos 5x + \frac{1}{4} \cos 3x

Vraćamo sve dobijene delove u početni izraz.

\cos^5 x = \frac{1}{4} \left( \cos x + (\cos 3x + \cos x) + \left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{4} \cos 5x + \frac{1}{4} \cos 3x \right) \right)

Sabiramo slične članove unutar zagrade.

\cos^5 x = \frac{1}{4} \left( \left( 1 + 1 + \frac{1}{2} \right) \cos x + \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cos 3x + \frac{1}{4} \cos 5x \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{2} \cos x + \frac{5}{4} \cos 3x + \frac{1}{4} \cos 5x \right)

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{4}$ ispred zagrade radi konačnog sređivanja.

\cos^5 x = \frac{1}{16} (10 \cos x + 5 \cos 3x + \cos 5x)

2618.Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku