2627.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Predstaviti u obliku zbira ili razlike sledeću funkciju: cos⁡3x. \cos^3 x .

cos⁡3x\cos^3 x
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izraz cos⁡3x \cos^3 x napisati kao proizvod kvadrata i prve snage kosinusa.

cos⁡3x=cos⁡2x⋅cos⁡x\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x

Koristimo trigonometrijski identitet za kvadrat kosinusa kako bismo snizili stepen:

cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu funkciju:

cos⁡3x=(1+cos⁡2x2)⋅cos⁡x=12(cos⁡x+cos⁡2xcos⁡x)\cos^3 x = \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) \cdot \cos x = \frac{1}{2} (\cos x + \cos 2x \cos x)

Sada primenjujemo formulu za transformaciju proizvoda kosinusa u zbir: cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)). \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) . U našem slučaju je α=2x \alpha = 2x i β=x. \beta = x .

cos⁡2xcos⁡x=12(cos⁡(2x+x)+cos⁡(2x−x))=12(cos⁡3x+cos⁡x)\cos 2x \cos x = \frac{1}{2} (\cos(2x + x) + \cos(2x - x)) = \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos x)

Vraćamo ovaj rezultat u izraz za cos⁡3x: \cos^3 x :

cos⁡3x=12(cos⁡x+12(cos⁡3x+cos⁡x))\cos^3 x = \frac{1}{2} \left( \cos x + \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos x) \right)

Sređujemo izraz unutar zagrade:

cos⁡3x=12cos⁡x+14cos⁡3x+14cos⁡x=34cos⁡x+14cos⁡3x\cos^3 x = \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{4} \cos 3x + \frac{1}{4} \cos x = \frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{4} \cos 3x

Izvlačimo zajednički faktor 14 \frac{1}{4} ispred zagrade kako bismo dobili konačan oblik.

cos⁡3x=14(3cos⁡x+cos⁡3x)\cos^3 x = \frac{1}{4} (3 \cos x + \cos 3x)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti