Snižavanje stepena: cos na treći kao zbir

Prvo ćemo izraz $\cos^3 x$ napisati kao proizvod kvadrata i prve snage kosinusa.

\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x

Koristimo trigonometrijski identitet za kvadrat kosinusa kako bismo snizili stepen:

\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu funkciju:

\cos^3 x = \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) \cdot \cos x = \frac{1}{2} (\cos x + \cos 2x \cos x)

Sada primenjujemo formulu za transformaciju proizvoda kosinusa u zbir: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) .$ U našem slučaju je $\alpha = 2x$ i $\beta = x .$

\cos 2x \cos x = \frac{1}{2} (\cos(2x + x) + \cos(2x - x)) = \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos x)

Vraćamo ovaj rezultat u izraz za $\cos^3 x :$

\cos^3 x = \frac{1}{2} \left( \cos x + \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos x) \right)

Sređujemo izraz unutar zagrade:

\cos^3 x = \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{4} \cos 3x + \frac{1}{4} \cos x = \frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{4} \cos 3x

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{4}$ ispred zagrade kako bismo dobili konačan oblik.

\cos^3 x = \frac{1}{4} (3 \cos x + \cos 3x)

Započni učenje

Online časovi

754.g

Beleške