Kub sinusa kao zbir: 3 sin x minus sin 3x

Prvo ćemo funkciju $\sin^3 x$ zapisati kao proizvod funkcija $\sin x$ i $\sin^2 x .$

\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x

Izraz $\sin^2 x$ možemo posmatrati kao proizvod $\sin x \cdot \sin x .$ Primenjujemo trigonometrijsku formulu za proizvod sinusa: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) ,$ gde je $\alpha = x$ i $\beta = x .$

\sin^2 x = \sin x \cdot \sin x = \frac{1}{2}(\cos(x - x) - \cos(x + x))

Sređujemo izraz u zagradi koristeći činjenicu da je $\cos 0 = 1 .$

\sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)

Sada dobijeni izraz vraćamo u početnu jednakost za $\sin^3 x .$

\sin^3 x = \sin x \cdot \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) = \frac{1}{2}(\sin x - \sin x \cos 2x)

Primenjujemo formulu za proizvod sinusa i kosinusa: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) ,$ gde je $\alpha = x$ i $\beta = 2x .$

\sin x \cos 2x = \frac{1}{2}(\sin(x + 2x) + \sin(x - 2x))

Sređujemo argumente funkcija. Koristimo osobinu da je sinus neparna funkcija, odnosno $\sin(-x) = -\sin x .$

\sin x \cos 2x = \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x)

Zamenjujemo ovaj rezultat nazad u izraz za $\sin^3 x .$

\sin^3 x = \frac{1}{2} \left( \sin x - \frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x) \right)

Oslobađamo se unutrašnje zagrade i grupišemo članove sa $\sin x .$

\sin^3 x = \frac{1}{2} \left( \sin x - \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2}\sin x - \frac{1}{2}\sin 3x \right)

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{2}$ ispred zagrade kako bismo dobili konačan oblik.

\sin^3 x = \frac{1}{4}(3\sin x - \sin 3x)

Započni učenje

Online časovi

754.v

Beleške