2616.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Predstaviti u obliku zbira ili razlike sledeću funkciju: sin⁡3x. \sin^3 x .

sin⁡3x\sin^3 x
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo funkciju sin⁡3x \sin^3 x zapisati kao proizvod funkcija sin⁡x \sin x i sin⁡2x. \sin^2 x .

sin⁡3x=sin⁡x⋅sin⁡2x\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x

Izraz sin⁡2x \sin^2 x možemo posmatrati kao proizvod sin⁡x⋅sin⁡x. \sin x \cdot \sin x . Primenjujemo trigonometrijsku formulu za proizvod sinusa: sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)), \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) , gde je α=x \alpha = x i β=x. \beta = x .

sin⁡2x=sin⁡x⋅sin⁡x=12(cos⁡(x−x)−cos⁡(x+x))\sin^2 x = \sin x \cdot \sin x = \frac{1}{2}(\cos(x - x) - \cos(x + x))

Sređujemo izraz u zagradi koristeći činjenicu da je cos⁡0=1. \cos 0 = 1 .

sin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)

Sada dobijeni izraz vraćamo u početnu jednakost za sin⁡3x. \sin^3 x .

sin⁡3x=sin⁡x⋅12(1−cos⁡2x)=12(sin⁡x−sin⁡xcos⁡2x)\sin^3 x = \sin x \cdot \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) = \frac{1}{2}(\sin x - \sin x \cos 2x)

Primenjujemo formulu za proizvod sinusa i kosinusa: sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)), \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) , gde je α=x \alpha = x i β=2x. \beta = 2x .

sin⁡xcos⁡2x=12(sin⁡(x+2x)+sin⁡(x−2x))\sin x \cos 2x = \frac{1}{2}(\sin(x + 2x) + \sin(x - 2x))

Sređujemo argumente funkcija. Koristimo osobinu da je sinus neparna funkcija, odnosno sin⁡(−x)=−sin⁡x. \sin(-x) = -\sin x .

sin⁡xcos⁡2x=12(sin⁡3x+sin⁡(−x))=12(sin⁡3x−sin⁡x)\sin x \cos 2x = \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x)

Zamenjujemo ovaj rezultat nazad u izraz za sin⁡3x. \sin^3 x .

sin⁡3x=12(sin⁡x−12(sin⁡3x−sin⁡x))\sin^3 x = \frac{1}{2} \left( \sin x - \frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x) \right)

Oslobađamo se unutrašnje zagrade i grupišemo članove sa sin⁡x. \sin x .

sin⁡3x=12(sin⁡x−12sin⁡3x+12sin⁡x)=12(32sin⁡x−12sin⁡3x)\sin^3 x = \frac{1}{2} \left( \sin x - \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2}\sin x - \frac{1}{2}\sin 3x \right)

Izvlačimo zajednički faktor 12 \frac{1}{2} ispred zagrade kako bismo dobili konačan oblik.

sin⁡3x=14(3sin⁡x−sin⁡3x)\sin^3 x = \frac{1}{4}(3\sin x - \sin 3x)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti