Snižavanje stepena: sin na četvrti kao zbir

Prvo ćemo izraz $\sin^4 x$ napisati kao kvadrat kvadrata sinusa.

\sin^4 x = (\sin^2 x)^2

Koristimo formulu za transformaciju proizvoda sinusa u zbir (razliku) za slučaj $\sin x \sin x :$ $\sin^2 x = \frac{1}{2}(\cos(x - x) - \cos(x + x)) .$

\sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)

Sada zamenjujemo dobijeni izraz u početnu formulu i kvadriramo binom.

\sin^4 x = \left( \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) \right)^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)

Primenjujemo formulu za transformaciju proizvoda kosinusa $\cos 2x \cos 2x$ u zbir: $\cos^2 2x = \frac{1}{2}(\cos(2x + 2x) + \cos(2x - 2x)) .$

\cos^2 2x = \frac{1}{2}(\cos 4x + 1)

Zamenjujemo izraz za $\cos^2 2x$ nazad u funkciju.

\sin^4 x = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos 2x + \frac{1}{2}(1 + \cos 4x) \right)

Sređujemo izraz unutar zagrade sabiranjem konstanti.

\sin^4 x = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x \right)

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{2}$ iz zagrade kako bismo dobili konačan oblik.

\sin^4 x = \frac{1}{8} (3 - 4\cos 2x + \cos 4x)

Započni učenje

Online časovi

754.đ

Beleške