2630. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Prvo ćemo izraz $\cos^4 x$ napisati kao kvadrat kvadrata kosinusa.

\cos^4 x = (\cos^2 x)^2

Koristimo formulu za kvadrat kosinusa preko kosinusa dvostrukog ugla: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} .$

\cos^4 x = \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^2

Kvadriramo brojilac i imenilac koristeći formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

\cos^4 x = \frac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}

Sada ponovo primenjujemo formulu za snižavanje stepena na član $\cos^2 2x .$ U ovom slučaju, argument je $2x ,$ pa dvostruki ugao postaje $4x .$

\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u glavnu jednačinu.

\cos^4 x = \frac{1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4}

Sređujemo brojilac tako što ćemo sve sabrati pod zajednički imenilac 2.

\cos^4 x = \frac{\frac{2 + 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}

Na kraju, izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{8}$ ispred zagrade kako bismo dobili traženi oblik zbira.

\cos^4 x = \frac{1}{8} (3 + 4\cos 2x + \cos 4x)

754.e