2614. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Prvo ćemo funkciju $\sin^5 x$ napisati kao proizvod $\sin^4 x \cdot \sin x ,$ a zatim ćemo iskoristiti identitet za kvadrat sinusa $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} .$

\sin^5 x = (\sin^2 x)^2 \cdot \sin x = \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 \cdot \sin x

Kvadriramo izraz u zagradi:

\sin^5 x = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) \sin x

Sada koristimo formulu za snižavanje stepena na član $\cos^2 2x ,$ gde je $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} :$

\sin^5 x = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) \sin x

Sređujemo izraz unutar zagrade svođenjem na zajednički imenilac:

\sin^5 x = \frac{1}{4} \left( \frac{2 - 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{2} \right) \sin x = \frac{1}{8} (3 - 4\cos 2x + \cos 4x) \sin x

Množimo svaki član zagrade sa $\sin x :$

\sin^5 x = \frac{1}{8} (3\sin x - 4\cos 2x \sin x + \cos 4x \sin x)

Primenjujemo formulu za transformaciju proizvoda u zbir: $\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)) :$

\begin{aligned} 4\cos 2x \sin x &= 4 \cdot \frac{1}{2} (\sin 3x - \sin x) = 2\sin 3x - 2\sin x \\ \cos 4x \sin x &= \frac{1}{2} (\sin 5x - \sin 3x) \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u glavnu jednačinu:

\sin^5 x = \frac{1}{8} \left( 3\sin x - (2\sin 3x - 2\sin x) + \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin 3x) \right)

Sređujemo koeficijente unutar zagrade:

\sin^5 x = \frac{1}{8} \left( 3\sin x - 2\sin 3x + 2\sin x + \frac{1}{2}\sin 5x - \frac{1}{2}\sin 3x \right)

Sabiramo slične članove:

\sin^5 x = \frac{1}{8} \left( 5\sin x - \frac{5}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin 5x \right)

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{2}$ ispred zagrade radi konačnog oblika:

\sin^5 x = \frac{1}{16} (10\sin x - 5\sin 3x + \sin 5x)

754.ž