2614.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Predstaviti u obliku zbira ili razlike sledeću funkciju: sin⁡5x. \sin^5 x .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo funkciju sin⁡5x \sin^5 x napisati kao proizvod sin⁡4x⋅sin⁡x, \sin^4 x \cdot \sin x , a zatim ćemo iskoristiti identitet za kvadrat sinusa sin⁡2x=1−cos⁡2x2. \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} .

sin⁡5x=(sin⁡2x)2⋅sin⁡x=(1−cos⁡2x2)2⋅sin⁡x\sin^5 x = (\sin^2 x)^2 \cdot \sin x = \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 \cdot \sin x

Kvadriramo izraz u zagradi:

sin⁡5x=14(1−2cos⁡2x+cos⁡22x)sin⁡x\sin^5 x = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) \sin x

Sada koristimo formulu za snižavanje stepena na član cos⁡22x, \cos^2 2x , gde je cos⁡2α=1+cos⁡2α2: \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} :

sin⁡5x=14(1−2cos⁡2x+1+cos⁡4x2)sin⁡x\sin^5 x = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) \sin x

Sređujemo izraz unutar zagrade svođenjem na zajednički imenilac:

sin⁡5x=14(2−4cos⁡2x+1+cos⁡4x2)sin⁡x=18(3−4cos⁡2x+cos⁡4x)sin⁡x\sin^5 x = \frac{1}{4} \left( \frac{2 - 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{2} \right) \sin x = \frac{1}{8} (3 - 4\cos 2x + \cos 4x) \sin x

Množimo svaki član zagrade sa sin⁡x: \sin x :

sin⁡5x=18(3sin⁡x−4cos⁡2xsin⁡x+cos⁡4xsin⁡x)\sin^5 x = \frac{1}{8} (3\sin x - 4\cos 2x \sin x + \cos 4x \sin x)

Primenjujemo formulu za transformaciju proizvoda u zbir: cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)): \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)) :

4cos⁡2xsin⁡x=4⋅12(sin⁡3x−sin⁡x)=2sin⁡3x−2sin⁡xcos⁡4xsin⁡x=12(sin⁡5x−sin⁡3x)\begin{aligned} 4\cos 2x \sin x &= 4 \cdot \frac{1}{2} (\sin 3x - \sin x) = 2\sin 3x - 2\sin x \\ \cos 4x \sin x &= \frac{1}{2} (\sin 5x - \sin 3x) \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u glavnu jednačinu:

sin⁡5x=18(3sin⁡x−(2sin⁡3x−2sin⁡x)+12(sin⁡5x−sin⁡3x))\sin^5 x = \frac{1}{8} \left( 3\sin x - (2\sin 3x - 2\sin x) + \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin 3x) \right)

Sređujemo koeficijente unutar zagrade:

sin⁡5x=18(3sin⁡x−2sin⁡3x+2sin⁡x+12sin⁡5x−12sin⁡3x)\sin^5 x = \frac{1}{8} \left( 3\sin x - 2\sin 3x + 2\sin x + \frac{1}{2}\sin 5x - \frac{1}{2}\sin 3x \right)

Sabiramo slične članove:

sin⁡5x=18(5sin⁡x−52sin⁡3x+12sin⁡5x)\sin^5 x = \frac{1}{8} \left( 5\sin x - \frac{5}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin 5x \right)

Izvlačimo zajednički faktor 12 \frac{1}{2} ispred zagrade radi konačnog oblika:

sin⁡5x=116(10sin⁡x−5sin⁡3x+sin⁡5x)\sin^5 x = \frac{1}{16} (10\sin x - 5\sin 3x + \sin 5x)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti