2626.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: sin⁡(60∘−α)sin⁡(60∘+α)=14(2cos⁡2α+1). \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4}(2 \cos 2\alpha + 1) .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta i primenjujemo adicionu formulu za proizvod sinusa: sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)). \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) .

L=sin⁡(60∘−α)sin⁡(60∘+α)L = \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha)

Primenom formule, gde je x=60∘−α x = 60^\circ - \alpha i y=60∘+α, y = 60^\circ + \alpha , dobijamo:

L=12[cos⁡((60∘−α)−(60∘+α))−cos⁡((60∘−α)+(60∘+α))]L = \frac{1}{2} [\cos((60^\circ - \alpha) - (60^\circ + \alpha)) - \cos((60^\circ - \alpha) + (60^\circ + \alpha))]

Sređujemo izraze unutar zagrada kosinusa:

L=12[cos⁡(60∘−α−60∘−α)−cos⁡(60∘−α+60∘+α)]L = \frac{1}{2} [\cos(60^\circ - \alpha - 60^\circ - \alpha) - \cos(60^\circ - \alpha + 60^\circ + \alpha)]

Nakon skraćivanja, dobijamo:

L=12[cos⁡(−2α)−cos⁡(120∘)]L = \frac{1}{2} [\cos(-2\alpha) - \cos(120^\circ)]

Koristimo osobinu parnosti kosinusa cos⁡(−x)=cos⁡x \cos(-x) = \cos x i vrednost cos⁡120∘=−12: \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} :

L=12[cos⁡2α−(−12)]L = \frac{1}{2} [\cos 2\alpha - (-\frac{1}{2})]

Oslobađamo se unutrašnje zagrade:

L=12(cos⁡2α+12)L = \frac{1}{2} (\cos 2\alpha + \frac{1}{2})

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac:

L=12(2cos⁡2α+12)L = \frac{1}{2} (\frac{2 \cos 2\alpha + 1}{2})

Množenjem razlomaka dobijamo krajnji oblik koji odgovara desnoj strani identiteta:

L=14(2cos⁡2α+1)L = \frac{1}{4} (2 \cos 2\alpha + 1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti