2626. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Polazimo od leve strane identiteta i primenjujemo adicionu formulu za proizvod sinusa: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) .$

L = \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha)

Primenom formule, gde je $x = 60^\circ - \alpha$ i $y = 60^\circ + \alpha ,$ dobijamo:

L = \frac{1}{2} [\cos((60^\circ - \alpha) - (60^\circ + \alpha)) - \cos((60^\circ - \alpha) + (60^\circ + \alpha))]

Sređujemo izraze unutar zagrada kosinusa:

L = \frac{1}{2} [\cos(60^\circ - \alpha - 60^\circ - \alpha) - \cos(60^\circ - \alpha + 60^\circ + \alpha)]

Nakon skraćivanja, dobijamo:

L = \frac{1}{2} [\cos(-2\alpha) - \cos(120^\circ)]

Koristimo osobinu parnosti kosinusa $\cos(-x) = \cos x$ i vrednost $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} :$

L = \frac{1}{2} [\cos 2\alpha - (-\frac{1}{2})]

Oslobađamo se unutrašnje zagrade:

L = \frac{1}{2} (\cos 2\alpha + \frac{1}{2})

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac:

L = \frac{1}{2} (\frac{2 \cos 2\alpha + 1}{2})

Množenjem razlomaka dobijamo krajnji oblik koji odgovara desnoj strani identiteta:

L = \frac{1}{4} (2 \cos 2\alpha + 1)

755