2617.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza: 4sin⁡(1+π6)cos⁡(1+π3). 4 \sin \left(1 + \frac{\pi}{6}\right) \cos \left(1 + \frac{\pi}{3}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijsku formulu za transformaciju proizvoda sinusa i kosinusa u zbir: sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)). \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) . U našem slučaju je α=1+π6 \alpha = 1 + \frac{\pi}{6} i β=1+π3. \beta = 1 + \frac{\pi}{3} .

Primenjujemo formulu na dati izraz:

4sin⁡(1+π6)cos⁡(1+π3)=4⋅12[sin⁡((1+π6)+(1+π3))+sin⁡((1+π6)−(1+π3))]4 \sin \left(1 + \frac{\pi}{6}\right) \cos \left(1 + \frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \left(1 + \frac{\pi}{6}\right) + \left(1 + \frac{\pi}{3}\right) \right) + \sin \left( \left(1 + \frac{\pi}{6}\right) - \left(1 + \frac{\pi}{3}\right) \right) \right]

Sređujemo argumente unutar funkcija sinus:

2[sin⁡(2+π6+2π6)+sin⁡(π6−2π6)]=2[sin⁡(2+3π6)+sin⁡(−π6)]2 \left[ \sin \left( 2 + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \right) \right] = 2 \left[ \sin \left( 2 + \frac{3\pi}{6} \right) + \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right]

Pojednostavljujemo razlomke i koristimo osobinu neparnosti sinusne funkcije sin⁡(−x)=−sin⁡x: \sin(-x) = -\sin x :

2[sin⁡(2+π2)−sin⁡(π6)]2 \left[ \sin \left( 2 + \frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right]

Koristimo adicionu formulu sin⁡(x+π2)=cos⁡x \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x i poznatu vrednost sin⁡π6=12: \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} :

2[cos⁡2−12]2 \left[ \cos 2 - \frac{1}{2} \right]

Množimo izraz brojem 2 da bismo dobili konačan rezultat:

2cos⁡2−2⋅12=2cos⁡2−12 \cos 2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 \cos 2 - 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti