2646.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: 4sin⁡αsin⁡2αsin⁡3α=sin⁡2α+sin⁡4α−sin⁡6α 4 \sin \alpha \sin 2\alpha \sin 3\alpha = \sin 2\alpha + \sin 4\alpha - \sin 6\alpha ;

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Grupisaćemo prvi i treći faktor kako bismo primenili formulu za proizvod sinusa.

4sin⁡2α(sin⁡αsin⁡3α)4 \sin 2\alpha (\sin \alpha \sin 3\alpha)

Primenjujemo formulu za transformaciju proizvoda u zbir: sin⁡xsin⁡y=12(cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)) \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) na izraz u zagradi.

4sin⁡2α⋅12(cos⁡(α−3α)−cos⁡(α+3α))4 \sin 2\alpha \cdot \frac{1}{2} (\cos(\alpha - 3\alpha) - \cos(\alpha + 3\alpha))

Sređujemo izraz unutar zagrade. Kako je kosinus parna funkcija, važi cos⁡(−2α)=cos⁡2α. \cos(-2\alpha) = \cos 2\alpha .

2sin⁡2α(cos⁡2α−cos⁡4α)2 \sin 2\alpha (\cos 2\alpha - \cos 4\alpha)

Množimo članove unutar zagrade sa 2sin⁡2α. 2 \sin 2\alpha .

2sin⁡2αcos⁡2α−2sin⁡2αcos⁡4α2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha - 2 \sin 2\alpha \cos 4\alpha

Za prvi član primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x, 2 \sin x \cos x = \sin 2x , a za drugi član formulu za proizvod sinusa i kosinusa sin⁡xcos⁡y=12(sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)). \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y)) .

sin⁡(2⋅2α)−2⋅12(sin⁡(2α+4α)+sin⁡(2α−4α))\sin(2 \cdot 2\alpha) - 2 \cdot \frac{1}{2} (\sin(2\alpha + 4\alpha) + \sin(2\alpha - 4\alpha))

Sređujemo dobijeni izraz. Sinus je neparna funkcija, pa važi sin⁡(−2α)=−sin⁡2α. \sin(-2\alpha) = -\sin 2\alpha .

sin⁡4α−(sin⁡6α+sin⁡(−2α))=sin⁡4α−(sin⁡6α−sin⁡2α)\sin 4\alpha - (\sin 6\alpha + \sin(-2\alpha)) = \sin 4\alpha - (\sin 6\alpha - \sin 2\alpha)

Oslobađamo se zagrade i dobijamo konačan izraz koji je jednak desnoj strani početnog identiteta, čime je dokaz završen.

sin⁡2α+sin⁡4α−sin⁡6α\sin 2\alpha + \sin 4\alpha - \sin 6\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti