2647.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: 4sin⁡αsin⁡βcos⁡(α+β)=cos⁡2α+cos⁡2β−cos⁡2(α+β)−1 4 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = \cos 2\alpha + \cos 2\beta - \cos 2(\alpha + \beta) - 1

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda sinusa u zbir: sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)). \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) .

4sin⁡αsin⁡βcos⁡(α+β)=4⋅12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))cos⁡(α+β)4 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \cos(\alpha + \beta)

Skraćujemo razlomak i množimo izraz u zagradi sa cos⁡(α+β). \cos(\alpha + \beta) .

=2(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))cos⁡(α+β)=2cos⁡(α−β)cos⁡(α+β)−2cos⁡2(α+β)= 2(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \cos(\alpha + \beta) = 2 \cos(\alpha - \beta) \cos(\alpha + \beta) - 2 \cos^2(\alpha + \beta)

Za prvi sabirak primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda kosinusa u zbir: cos⁡xcos⁡y=12(cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)). \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) .

2cos⁡(α−β)cos⁡(α+β)=2⋅12(cos⁡(α−β+α+β)+cos⁡(α−β−(α+β)))2 \cos(\alpha - \beta) \cos(\alpha + \beta) = 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta + \alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta - (\alpha + \beta)))

Pojednostavljujemo dobijeni izraz. Koristimo svojstvo parnosti kosinusa, odnosno da važi cos⁡(−x)=cos⁡x. \cos(-x) = \cos x .

=cos⁡(2α)+cos⁡(−2β)=cos⁡2α+cos⁡2β= \cos(2\alpha) + \cos(-2\beta) = \cos 2\alpha + \cos 2\beta

Za drugi sabirak koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2x=2cos⁡2x−1, \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 , iz koje sledi da je 2cos⁡2x=cos⁡2x+1. 2 \cos^2 x = \cos 2x + 1 .

2cos⁡2(α+β)=cos⁡(2(α+β))+12 \cos^2(\alpha + \beta) = \cos(2(\alpha + \beta)) + 1

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u jednačinu iz drugog koraka.

2cos⁡(α−β)cos⁡(α+β)−2cos⁡2(α+β)=(cos⁡2α+cos⁡2β)−(cos⁡2(α+β)+1)2 \cos(\alpha - \beta) \cos(\alpha + \beta) - 2 \cos^2(\alpha + \beta) = (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) - (\cos 2(\alpha + \beta) + 1)

Oslobađamo se zagrade, čime dobijamo desnu stranu početnog identiteta.

=cos⁡2α+cos⁡2β−cos⁡2(α+β)−1= \cos 2\alpha + \cos 2\beta - \cos 2(\alpha + \beta) - 1

Ovim je dokazano da su leva i desna strana jednake.

4sin⁡αsin⁡βcos⁡(α+β)=cos⁡2α+cos⁡2β−cos⁡2(α+β)−14 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = \cos 2\alpha + \cos 2\beta - \cos 2(\alpha + \beta) - 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti