2647. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Polazimo od leve strane jednakosti. Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda sinusa u zbir: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) .$

4 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \cos(\alpha + \beta)

Skraćujemo razlomak i množimo izraz u zagradi sa $\cos(\alpha + \beta) .$

= 2(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \cos(\alpha + \beta) = 2 \cos(\alpha - \beta) \cos(\alpha + \beta) - 2 \cos^2(\alpha + \beta)

Za prvi sabirak primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda kosinusa u zbir: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) .$

2 \cos(\alpha - \beta) \cos(\alpha + \beta) = 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta + \alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta - (\alpha + \beta)))

Pojednostavljujemo dobijeni izraz. Koristimo svojstvo parnosti kosinusa, odnosno da važi $\cos(-x) = \cos x .$

= \cos(2\alpha) + \cos(-2\beta) = \cos 2\alpha + \cos 2\beta

Za drugi sabirak koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 ,$ iz koje sledi da je $2 \cos^2 x = \cos 2x + 1 .$

2 \cos^2(\alpha + \beta) = \cos(2(\alpha + \beta)) + 1

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u jednačinu iz drugog koraka.

2 \cos(\alpha - \beta) \cos(\alpha + \beta) - 2 \cos^2(\alpha + \beta) = (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) - (\cos 2(\alpha + \beta) + 1)

Oslobađamo se zagrade, čime dobijamo desnu stranu početnog identiteta.

= \cos 2\alpha + \cos 2\beta - \cos 2(\alpha + \beta) - 1

Ovim je dokazano da su leva i desna strana jednake.

4 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = \cos 2\alpha + \cos 2\beta - \cos 2(\alpha + \beta) - 1

761.b