2645. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Zapišimo levu stranu jednakosti koju treba da dokažemo.

\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ

Primenimo formulu za pretvaranje proizvoda kosinusa u zbir $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$ na faktore $\cos 50^\circ$ i $\cos 70^\circ .$

\cos 10^\circ \cdot \frac{1}{2}(\cos(50^\circ + 70^\circ) + \cos(50^\circ - 70^\circ))

Saberimo i oduzmimo uglove u zagradama. Znamo da je kosinus parna funkcija, pa važi $\cos(-20^\circ) = \cos 20^\circ .$

\frac{1}{2} \cos 10^\circ (\cos 120^\circ + \cos 20^\circ)

Zamenimo poznatu vrednost za $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} .$

\frac{1}{2} \cos 10^\circ \left(-\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right)

Pomnožimo svaki član u zagradi sa $\frac{1}{2} \cos 10^\circ .$

-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{2} \cos 10^\circ \cos 20^\circ

Ponovo primenimo formulu za proizvod kosinusa na izraz $\cos 10^\circ \cos 20^\circ .$

-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\cos(10^\circ + 20^\circ) + \cos(10^\circ - 20^\circ))

Sredimo izraz u zagradi, koristeći parnost kosinusa $\cos(-10^\circ) = \cos 10^\circ .$

-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{4} (\cos 30^\circ + \cos 10^\circ)

Zamenimo poznatu vrednost za $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 10^\circ\right)

Oslobodimo se zagrade množenjem sa $\frac{1}{4} .$

-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4} \cos 10^\circ

Skratimo suprotne članove $-\frac{1}{4} \cos 10^\circ$ i $\frac{1}{4} \cos 10^\circ .$

\frac{\sqrt{3}}{8}

Dobili smo desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}

758