2645.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati da je cos⁡10∘cos⁡50∘cos⁡70∘=38. \cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8} .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo levu stranu jednakosti koju treba da dokažemo.

cos⁡10∘cos⁡50∘cos⁡70∘\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ

Primenimo formulu za pretvaranje proizvoda kosinusa u zbir cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)) \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) na faktore cos⁡50∘ \cos 50^\circ i cos⁡70∘. \cos 70^\circ .

cos⁡10∘⋅12(cos⁡(50∘+70∘)+cos⁡(50∘−70∘))\cos 10^\circ \cdot \frac{1}{2}(\cos(50^\circ + 70^\circ) + \cos(50^\circ - 70^\circ))

Saberimo i oduzmimo uglove u zagradama. Znamo da je kosinus parna funkcija, pa važi cos⁡(−20∘)=cos⁡20∘. \cos(-20^\circ) = \cos 20^\circ .

12cos⁡10∘(cos⁡120∘+cos⁡20∘)\frac{1}{2} \cos 10^\circ (\cos 120^\circ + \cos 20^\circ)

Zamenimo poznatu vrednost za cos⁡120∘=−12. \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} .

12cos⁡10∘(−12+cos⁡20∘)\frac{1}{2} \cos 10^\circ \left(-\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right)

Pomnožimo svaki član u zagradi sa 12cos⁡10∘. \frac{1}{2} \cos 10^\circ .

−14cos⁡10∘+12cos⁡10∘cos⁡20∘-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{2} \cos 10^\circ \cos 20^\circ

Ponovo primenimo formulu za proizvod kosinusa na izraz cos⁡10∘cos⁡20∘. \cos 10^\circ \cos 20^\circ .

−14cos⁡10∘+12⋅12(cos⁡(10∘+20∘)+cos⁡(10∘−20∘))-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\cos(10^\circ + 20^\circ) + \cos(10^\circ - 20^\circ))

Sredimo izraz u zagradi, koristeći parnost kosinusa cos⁡(−10∘)=cos⁡10∘. \cos(-10^\circ) = \cos 10^\circ .

−14cos⁡10∘+14(cos⁡30∘+cos⁡10∘)-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{4} (\cos 30^\circ + \cos 10^\circ)

Zamenimo poznatu vrednost za cos⁡30∘=32. \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} .

−14cos⁡10∘+14(32+cos⁡10∘)-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 10^\circ\right)

Oslobodimo se zagrade množenjem sa 14. \frac{1}{4} .

−14cos⁡10∘+38+14cos⁡10∘-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4} \cos 10^\circ

Skratimo suprotne članove −14cos⁡10∘ -\frac{1}{4} \cos 10^\circ i 14cos⁡10∘. \frac{1}{4} \cos 10^\circ .

38\frac{\sqrt{3}}{8}

Dobili smo desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

cos⁡10∘cos⁡50∘cos⁡70∘=38\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti