2644.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Ako je 5sin⁡β=sin⁡(2α+β), 5 \sin \beta = \sin(2\alpha + \beta) , dokazati da je tg(α+β)tg α=32. \frac{\text{tg}(\alpha + \beta)}{\text{tg } \alpha} = \frac{3}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo izraz koji treba dokazati preko sinusa i kosinusa.

tg(α+β)tg α=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)sin⁡αcos⁡α\frac{\text{tg}(\alpha + \beta)}{\text{tg } \alpha} = \frac{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}

Sređujemo dvojni razlomak.

tg(α+β)tg α=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡(α+β)sin⁡α\frac{\text{tg}(\alpha + \beta)}{\text{tg } \alpha} = \frac{\sin(\alpha + \beta) \cos \alpha}{\cos(\alpha + \beta) \sin \alpha}

Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda sinusa i kosinusa u zbir na brojilac: sin⁡xcos⁡y=12(sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)). \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y)) .

sin⁡(α+β)cos⁡α=12(sin⁡(α+β+α)+sin⁡(α+β−α))\sin(\alpha + \beta) \cos \alpha = \frac{1}{2} (\sin(\alpha + \beta + \alpha) + \sin(\alpha + \beta - \alpha))

Sređujemo argumente sinusa u brojiocu.

sin⁡(α+β)cos⁡α=12(sin⁡(2α+β)+sin⁡β)\sin(\alpha + \beta) \cos \alpha = \frac{1}{2} (\sin(2\alpha + \beta) + \sin \beta)

Primenjujemo istu formulu na imenilac, uzimajući u obzir da je cos⁡(α+β)sin⁡α=sin⁡αcos⁡(α+β). \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha = \sin \alpha \cos(\alpha + \beta) .

sin⁡αcos⁡(α+β)=12(sin⁡(α+α+β)+sin⁡(α−(α+β)))\sin \alpha \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} (\sin(\alpha + \alpha + \beta) + \sin(\alpha - (\alpha + \beta)))

Sređujemo argumente sinusa u imeniocu.

sin⁡αcos⁡(α+β)=12(sin⁡(2α+β)+sin⁡(−β))\sin \alpha \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} (\sin(2\alpha + \beta) + \sin(-\beta))

Koristimo svojstvo neparnosti sinusa, sin⁡(−β)=−sin⁡β. \sin(-\beta) = -\sin \beta .

sin⁡αcos⁡(α+β)=12(sin⁡(2α+β)−sin⁡β)\sin \alpha \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} (\sin(2\alpha + \beta) - \sin \beta)

Zamenjujemo dobijene izraze za brojilac i imenilac u početni razlomak.

tg(α+β)tg α=12(sin⁡(2α+β)+sin⁡β)12(sin⁡(2α+β)−sin⁡β)\frac{\text{tg}(\alpha + \beta)}{\text{tg } \alpha} = \frac{\frac{1}{2} (\sin(2\alpha + \beta) + \sin \beta)}{\frac{1}{2} (\sin(2\alpha + \beta) - \sin \beta)}

Skraćujemo razlomak sa 12. \frac{1}{2} .

tg(α+β)tg α=sin⁡(2α+β)+sin⁡βsin⁡(2α+β)−sin⁡β\frac{\text{tg}(\alpha + \beta)}{\text{tg } \alpha} = \frac{\sin(2\alpha + \beta) + \sin \beta}{\sin(2\alpha + \beta) - \sin \beta}

Koristimo uslov zadatka sin⁡(2α+β)=5sin⁡β \sin(2\alpha + \beta) = 5 \sin \beta i zamenjujemo ga u izraz.

tg(α+β)tg α=5sin⁡β+sin⁡β5sin⁡β−sin⁡β\frac{\text{tg}(\alpha + \beta)}{\text{tg } \alpha} = \frac{5 \sin \beta + \sin \beta}{5 \sin \beta - \sin \beta}

Sabiramo i oduzimamo članove u brojiocu i imeniocu.

tg(α+β)tg α=6sin⁡β4sin⁡β\frac{\text{tg}(\alpha + \beta)}{\text{tg } \alpha} = \frac{6 \sin \beta}{4 \sin \beta}

Skraćujemo razlomak sa 2sin⁡β 2 \sin \beta čime dobijamo traženi rezultat.

tg(α+β)tg α=32\frac{\text{tg}(\alpha + \beta)}{\text{tg } \alpha} = \frac{3}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti