2643.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Primenom transformacija proizvoda u zbir uprostiti izraz:

sin⁡20∘sin⁡40∘sin⁡60∘sin⁡80∘\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ
REŠENJE ZADATKA

Zamenjujemo poznatu vrednost za sin⁡60∘=32 \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} i grupišemo preostale članove:

32sin⁡20∘(sin⁡40∘sin⁡80∘)\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 20^\circ (\sin 40^\circ \sin 80^\circ)

Primenjujemo formulu za proizvod sinusa sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)) \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) na izraz sin⁡40∘sin⁡80∘: \sin 40^\circ \sin 80^\circ :

32sin⁡20∘⋅12(cos⁡(40∘−80∘)−cos⁡(40∘+80∘))\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 20^\circ \cdot \frac{1}{2} (\cos(40^\circ - 80^\circ) - \cos(40^\circ + 80^\circ))

Računamo uglove unutar kosinusa:

34sin⁡20∘(cos⁡(−40∘)−cos⁡120∘)\frac{\sqrt{3}}{4} \sin 20^\circ (\cos(-40^\circ) - \cos 120^\circ)

Koristimo parnost kosinusa cos⁡(−40∘)=cos⁡40∘ \cos(-40^\circ) = \cos 40^\circ i vrednost cos⁡120∘=−12: \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} :

34sin⁡20∘(cos⁡40∘−(−12))=34sin⁡20∘(cos⁡40∘+12)\frac{\sqrt{3}}{4} \sin 20^\circ \left(\cos 40^\circ - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 20^\circ \left(\cos 40^\circ + \frac{1}{2}\right)

Množimo članove u zagradi sa sin⁡20∘: \sin 20^\circ :

34(sin⁡20∘cos⁡40∘+12sin⁡20∘)\frac{\sqrt{3}}{4} \left(\sin 20^\circ \cos 40^\circ + \frac{1}{2} \sin 20^\circ\right)

Sada primenjujemo formulu sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)) \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) na proizvod sin⁡20∘cos⁡40∘: \sin 20^\circ \cos 40^\circ :

34(12(sin⁡(20∘+40∘)+sin⁡(20∘−40∘))+12sin⁡20∘)\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{2}(\sin(20^\circ + 40^\circ) + \sin(20^\circ - 40^\circ)) + \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)

Računamo uglove unutar sinusa:

34(12(sin⁡60∘+sin⁡(−20∘))+12sin⁡20∘)\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{2}(\sin 60^\circ + \sin(-20^\circ)) + \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)

Koristimo neparnost sinusa sin⁡(−20∘)=−sin⁡20∘ \sin(-20^\circ) = -\sin 20^\circ i poznatu vrednost sin⁡60∘=32: \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} :

34(12(32−sin⁡20∘)+12sin⁡20∘)\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 20^\circ\right) + \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)

Množimo članove u prvoj zagradi sa 12: \frac{1}{2} :

34(34−12sin⁡20∘+12sin⁡20∘)\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin 20^\circ + \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)

Skraćujemo suprotne članove −12sin⁡20∘ -\frac{1}{2} \sin 20^\circ i 12sin⁡20∘: \frac{1}{2} \sin 20^\circ :

34⋅34\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}

Množenjem razlomaka dobijamo konačan rezultat:

316\frac{3}{16}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti