2641. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Zapisujemo tangens preko sinusa i kosinusa.

\text{tg } 20^\circ \text{tg } 40^\circ \text{tg } 80^\circ = \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}

Grupisaćemo po dva faktora u brojiocu i imeniocu kako bismo primenili formule za pretvaranje proizvoda u zbir.

\frac{\sin 20^\circ (\sin 40^\circ \sin 80^\circ)}{\cos 20^\circ (\cos 40^\circ \cos 80^\circ)}

Primenjujemo formulu $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$ na izraz u zagradi u brojiocu.

\sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ - 80^\circ) - \cos(40^\circ + 80^\circ))

Znamo da je kosinus parna funkcija, pa je $\cos(-40^\circ) = \cos 40^\circ ,$ a vrednost $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} .$

\frac{1}{2}(\cos(-40^\circ) - \cos 120^\circ) = \frac{1}{2}\left(\cos 40^\circ - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\cos 40^\circ + \frac{1}{4}

Slično, primenjujemo formulu $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$ na izraz u zagradi u imeniocu.

\cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ + 80^\circ) + \cos(40^\circ - 80^\circ))

Zamenjujemo poznate vrednosti za kosinus.

\frac{1}{2}(\cos 120^\circ + \cos(-40^\circ)) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + \cos 40^\circ\right) = \frac{1}{2}\cos 40^\circ - \frac{1}{4}

Vraćamo dobijene izraze u početni razlomak i množimo sa preostalim faktorima.

\frac{\sin 20^\circ \left(\frac{1}{2}\cos 40^\circ + \frac{1}{4}\right)}{\cos 20^\circ \left(\frac{1}{2}\cos 40^\circ - \frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{2}\sin 20^\circ \cos 40^\circ + \frac{1}{4}\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\cos 20^\circ \cos 40^\circ - \frac{1}{4}\cos 20^\circ}

Sada primenjujemo formulu $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$ na prvi sabirak u brojiocu.

\sin 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\sin(20^\circ + 40^\circ) + \sin(20^\circ - 40^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 60^\circ + \sin(-20^\circ)) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 20^\circ\right)

Primenjujemo formulu za proizvod kosinusa na prvi sabirak u imeniocu.

\cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos(20^\circ + 40^\circ) + \cos(20^\circ - 40^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos(-20^\circ)) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right)

Zamenjujemo ove izraze nazad u brojilac i imenilac.

\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 20^\circ\right) + \frac{1}{4}\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right) - \frac{1}{4}\cos 20^\circ}

Množenjem i sređivanjem izraza, članovi koji sadrže $\sin 20^\circ$ i $\cos 20^\circ$ se potiru.

\frac{\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}\sin 20^\circ + \frac{1}{4}\sin 20^\circ}{\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\cos 20^\circ - \frac{1}{4}\cos 20^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}}

Skraćivanjem razlomka dobijamo konačan rezultat, čime je dokaz završen.

\frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}} = \sqrt{3}

759