2641.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati da je tg 20∘tg 40∘tg 80∘=3. \text{tg } 20^\circ \text{tg } 40^\circ \text{tg } 80^\circ = \sqrt{3} .

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo tangens preko sinusa i kosinusa.

tg 20∘tg 40∘tg 80∘=sin⁡20∘sin⁡40∘sin⁡80∘cos⁡20∘cos⁡40∘cos⁡80∘\text{tg } 20^\circ \text{tg } 40^\circ \text{tg } 80^\circ = \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}

Grupisaćemo po dva faktora u brojiocu i imeniocu kako bismo primenili formule za pretvaranje proizvoda u zbir.

sin⁡20∘(sin⁡40∘sin⁡80∘)cos⁡20∘(cos⁡40∘cos⁡80∘)\frac{\sin 20^\circ (\sin 40^\circ \sin 80^\circ)}{\cos 20^\circ (\cos 40^\circ \cos 80^\circ)}

Primenjujemo formulu sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)) \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) na izraz u zagradi u brojiocu.

sin⁡40∘sin⁡80∘=12(cos⁡(40∘−80∘)−cos⁡(40∘+80∘))\sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ - 80^\circ) - \cos(40^\circ + 80^\circ))

Znamo da je kosinus parna funkcija, pa je cos⁡(−40∘)=cos⁡40∘, \cos(-40^\circ) = \cos 40^\circ , a vrednost cos⁡120∘=−12. \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} .

12(cos⁡(−40∘)−cos⁡120∘)=12(cos⁡40∘−(−12))=12cos⁡40∘+14\frac{1}{2}(\cos(-40^\circ) - \cos 120^\circ) = \frac{1}{2}\left(\cos 40^\circ - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\cos 40^\circ + \frac{1}{4}

Slično, primenjujemo formulu cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)) \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) na izraz u zagradi u imeniocu.

cos⁡40∘cos⁡80∘=12(cos⁡(40∘+80∘)+cos⁡(40∘−80∘))\cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ + 80^\circ) + \cos(40^\circ - 80^\circ))

Zamenjujemo poznate vrednosti za kosinus.

12(cos⁡120∘+cos⁡(−40∘))=12(−12+cos⁡40∘)=12cos⁡40∘−14\frac{1}{2}(\cos 120^\circ + \cos(-40^\circ)) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + \cos 40^\circ\right) = \frac{1}{2}\cos 40^\circ - \frac{1}{4}

Vraćamo dobijene izraze u početni razlomak i množimo sa preostalim faktorima.

sin⁡20∘(12cos⁡40∘+14)cos⁡20∘(12cos⁡40∘−14)=12sin⁡20∘cos⁡40∘+14sin⁡20∘12cos⁡20∘cos⁡40∘−14cos⁡20∘\frac{\sin 20^\circ \left(\frac{1}{2}\cos 40^\circ + \frac{1}{4}\right)}{\cos 20^\circ \left(\frac{1}{2}\cos 40^\circ - \frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{2}\sin 20^\circ \cos 40^\circ + \frac{1}{4}\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\cos 20^\circ \cos 40^\circ - \frac{1}{4}\cos 20^\circ}

Sada primenjujemo formulu sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)) \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) na prvi sabirak u brojiocu.

sin⁡20∘cos⁡40∘=12(sin⁡(20∘+40∘)+sin⁡(20∘−40∘))=12(sin⁡60∘+sin⁡(−20∘))=12(32−sin⁡20∘)\sin 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\sin(20^\circ + 40^\circ) + \sin(20^\circ - 40^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 60^\circ + \sin(-20^\circ)) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 20^\circ\right)

Primenjujemo formulu za proizvod kosinusa na prvi sabirak u imeniocu.

cos⁡20∘cos⁡40∘=12(cos⁡(20∘+40∘)+cos⁡(20∘−40∘))=12(cos⁡60∘+cos⁡(−20∘))=12(12+cos⁡20∘)\cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos(20^\circ + 40^\circ) + \cos(20^\circ - 40^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos(-20^\circ)) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right)

Zamenjujemo ove izraze nazad u brojilac i imenilac.

12⋅12(32−sin⁡20∘)+14sin⁡20∘12⋅12(12+cos⁡20∘)−14cos⁡20∘\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 20^\circ\right) + \frac{1}{4}\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right) - \frac{1}{4}\cos 20^\circ}

Množenjem i sređivanjem izraza, članovi koji sadrže sin⁡20∘ \sin 20^\circ i cos⁡20∘ \cos 20^\circ se potiru.

38−14sin⁡20∘+14sin⁡20∘18+14cos⁡20∘−14cos⁡20∘=3818\frac{\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}\sin 20^\circ + \frac{1}{4}\sin 20^\circ}{\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\cos 20^\circ - \frac{1}{4}\cos 20^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}}

Skraćivanjem razlomka dobijamo konačan rezultat, čime je dokaz završen.

3818=3\frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}} = \sqrt{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti