2642.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡(π4+α)sin⁡(π4−α)cos⁡2α=14+14cos⁡4α\sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \cos 2\alpha = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4\alpha
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta i primenjujemo formulu za proizvod sinusa: sin⁡xsin⁡y=12(cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)) \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) na prva dva faktora.

sin⁡(π4+α)sin⁡(π4−α)=12(cos⁡(π4+α−(π4−α))−cos⁡(π4+α+π4−α))\sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \right)

Sređujemo izraze unutar kosinusa.

12(cos⁡(2α)−cos⁡(π2))\frac{1}{2} \left( \cos (2\alpha) - \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)

Znamo da je cos⁡(π2)=0, \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 , pa se izraz pojednostavljuje.

12(cos⁡2α−0)=12cos⁡2α\frac{1}{2} ( \cos 2\alpha - 0 ) = \frac{1}{2} \cos 2\alpha

Vraćamo dobijeni rezultat u početni izraz za levu stranu identiteta.

12cos⁡2α⋅cos⁡2α=12cos⁡22α\frac{1}{2} \cos 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \cos^2 2\alpha

Primenjujemo formulu za smanjenje stepena: cos⁡2x=1+cos⁡2x2 \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} za x=2α. x = 2\alpha .

12cos⁡22α=12⋅1+cos⁡4α2\frac{1}{2} \cos^2 2\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 4\alpha}{2}

Množenjem razlomaka dobijamo izraz koji se nalazi na desnoj strani identiteta, čime je dokaz završen.

1+cos⁡4α4=14+14cos⁡4α\frac{1 + \cos 4\alpha}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4\alpha

Prema dodatnom uputstvu, izvlačimo zajednički faktor iz krajnjeg rezultata.

14+14cos⁡4α=14(1+cos⁡4α)\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4\alpha = \frac{1}{4} (1 + \cos 4\alpha)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti