2642. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Polazimo od leve strane identiteta i primenjujemo formulu za proizvod sinusa: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))$ na prva dva faktora.

\sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \right)

Sređujemo izraze unutar kosinusa.

\frac{1}{2} \left( \cos (2\alpha) - \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)

Znamo da je $\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 ,$ pa se izraz pojednostavljuje.

\frac{1}{2} ( \cos 2\alpha - 0 ) = \frac{1}{2} \cos 2\alpha

Vraćamo dobijeni rezultat u početni izraz za levu stranu identiteta.

\frac{1}{2} \cos 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \cos^2 2\alpha

Primenjujemo formulu za smanjenje stepena: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ za $x = 2\alpha .$

\frac{1}{2} \cos^2 2\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 4\alpha}{2}

Množenjem razlomaka dobijamo izraz koji se nalazi na desnoj strani identiteta, čime je dokaz završen.

\frac{1 + \cos 4\alpha}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4\alpha

Prema dodatnom uputstvu, izvlačimo zajednički faktor iz krajnjeg rezultata.

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4\alpha = \frac{1}{4} (1 + \cos 4\alpha)

761.v