2640.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Primenom transformacija proizvoda u zbir uprostiti izraz: tg 20∘tg 40∘tg 60∘tg 80∘. \text{tg } 20^\circ \text{tg } 40^\circ \text{tg } 60^\circ \text{tg } 80^\circ .

tg 20∘tg 40∘tg 60∘tg 80∘\text{tg } 20^\circ \text{tg } 40^\circ \text{tg } 60^\circ \text{tg } 80^\circ
REŠENJE ZADATKA

Zapišimo tangens kao količnik sinusa i kosinusa. Poznato je da je tg 60∘=3. \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} .

tg 20∘tg 40∘tg 60∘tg 80∘=3⋅sin⁡20∘sin⁡40∘sin⁡80∘cos⁡20∘cos⁡40∘cos⁡80∘\text{tg } 20^\circ \text{tg } 40^\circ \text{tg } 60^\circ \text{tg } 80^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}

Posmatrajmo prvo brojilac. Primenimo formulu za proizvod sinusa na sin⁡40∘sin⁡80∘. \sin 40^\circ \sin 80^\circ .

sin⁡40∘sin⁡80∘=12(cos⁡(40∘−80∘)−cos⁡(40∘+80∘))=12(cos⁡(−40∘)−cos⁡120∘)\sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ - 80^\circ) - \cos(40^\circ + 80^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-40^\circ) - \cos 120^\circ)

Kako je kosinus parna funkcija, važi cos⁡(−40∘)=cos⁡40∘. \cos(-40^\circ) = \cos 40^\circ . Takođe, cos⁡120∘=−12. \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} .

sin⁡40∘sin⁡80∘=12(cos⁡40∘−(−12))=12cos⁡40∘+14\sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{2}\left(\cos 40^\circ - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\cos 40^\circ + \frac{1}{4}

Pomnožimo dobijeni izraz sa sin⁡20∘ \sin 20^\circ kako bismo dobili ceo brojilac.

sin⁡20∘(12cos⁡40∘+14)=12sin⁡20∘cos⁡40∘+14sin⁡20∘\sin 20^\circ \left(\frac{1}{2}\cos 40^\circ + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\sin 20^\circ \cos 40^\circ + \frac{1}{4}\sin 20^\circ

Sada primenimo formulu za proizvod sinusa i kosinusa na sin⁡20∘cos⁡40∘. \sin 20^\circ \cos 40^\circ .

12⋅12(sin⁡(20∘+40∘)+sin⁡(20∘−40∘))+14sin⁡20∘=14(sin⁡60∘+sin⁡(−20∘))+14sin⁡20∘\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(20^\circ + 40^\circ) + \sin(20^\circ - 40^\circ)) + \frac{1}{4}\sin 20^\circ = \frac{1}{4}(\sin 60^\circ + \sin(-20^\circ)) + \frac{1}{4}\sin 20^\circ

Zamenimo sin⁡60∘=32 \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} i iskoristimo neparnost sinusa (sin⁡(−20∘)=−sin⁡20∘ \sin(-20^\circ) = -\sin 20^\circ ).

14(32−sin⁡20∘)+14sin⁡20∘=38−14sin⁡20∘+14sin⁡20∘=38\frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 20^\circ\right) + \frac{1}{4}\sin 20^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}\sin 20^\circ + \frac{1}{4}\sin 20^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}

Sada posmatrajmo imenilac. Primenimo formulu za proizvod kosinusa na cos⁡40∘cos⁡80∘. \cos 40^\circ \cos 80^\circ .

cos⁡40∘cos⁡80∘=12(cos⁡(40∘+80∘)+cos⁡(40∘−80∘))=12(cos⁡120∘+cos⁡(−40∘))\cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ + 80^\circ) + \cos(40^\circ - 80^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 120^\circ + \cos(-40^\circ))

Zamenimo poznate vrednosti i uprostimo izraz.

12(−12+cos⁡40∘)=−14+12cos⁡40∘\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + \cos 40^\circ\right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 40^\circ

Pomnožimo dobijeni izraz sa cos⁡20∘ \cos 20^\circ kako bismo dobili ceo imenilac.

cos⁡20∘(−14+12cos⁡40∘)=−14cos⁡20∘+12cos⁡20∘cos⁡40∘\cos 20^\circ \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 40^\circ\right) = -\frac{1}{4}\cos 20^\circ + \frac{1}{2}\cos 20^\circ \cos 40^\circ

Transformišemo proizvod cos⁡20∘cos⁡40∘ \cos 20^\circ \cos 40^\circ u zbir.

−14cos⁡20∘+12⋅12(cos⁡(20∘+40∘)+cos⁡(20∘−40∘))=−14cos⁡20∘+14(cos⁡60∘+cos⁡(−20∘))-\frac{1}{4}\cos 20^\circ + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\cos(20^\circ + 40^\circ) + \cos(20^\circ - 40^\circ)) = -\frac{1}{4}\cos 20^\circ + \frac{1}{4}(\cos 60^\circ + \cos(-20^\circ))

Zamenimo cos⁡60∘=12 \cos 60^\circ = \frac{1}{2} i iskoristimo parnost kosinusa.

−14cos⁡20∘+14(12+cos⁡20∘)=−14cos⁡20∘+18+14cos⁡20∘=18-\frac{1}{4}\cos 20^\circ + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right) = -\frac{1}{4}\cos 20^\circ + \frac{1}{8} + \frac{1}{4}\cos 20^\circ = \frac{1}{8}

Vratimo dobijene vrednosti brojioca i imenioca u početni izraz i računamo konačan rezultat.

3⋅3818=3⋅3=3\sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti