Dokaz: odnos kosinusa zbira i razlike preko tangensa

Polazimo od leve strane identiteta. Primenjujemo adicione formule za kosinus zbira i razlike uglova:

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

Zamenjujemo ove formule u polazni izraz:

\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}

Da bismo dobili tangense, delimo i brojilac i imenilac sa $\cos \alpha \cos \beta$ (uz pretpostavku da je $\cos \alpha \cos \beta \neq 0$ ):

\frac{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}

Razdvajamo razlomke u brojiocu i imeniocu:

\frac{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}

Skraćujemo iste članove i koristimo definiciju tangensa $\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} :$

\frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

671