2478.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 669-676):

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=1−tgαtgβ1+tgαtgβ\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Primenjujemo adicione formule za kosinus zbira i razlike uglova:

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

Zamenjujemo ove formule u polazni izraz:

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}

Da bismo dobili tangense, delimo i brojilac i imenilac sa cos⁡αcos⁡β \cos \alpha \cos \beta (uz pretpostavku da je cos⁡αcos⁡β≠0 \cos \alpha \cos \beta \neq 0 ):

cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β\frac{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}

Razdvajamo razlomke u brojiocu i imeniocu:

cos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β\frac{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}

Skraćujemo iste članove i koristimo definiciju tangensa tgx=sin⁡xcos⁡x: \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} :

1−tgαtgβ1+tgαtgβ\frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=1−tgαtgβ1+tgαtgβ\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti