2477. Adicione formule | Balkan Tutor

Iz datog uslova izražavamo $\text{tg} x$ preko $\text{tg} y .$

2\text{tg} x - 3\text{tg} y = 0 \implies \text{tg} x = \frac{3}{2}\text{tg} y

Primenjujemo adicionu formulu za tangens razlike uglova na izraz $\text{tg}(x - y) .$

\text{tg}(x - y) = \frac{\text{tg} x - \text{tg} y}{1 + \text{tg} x \text{tg} y}

Zamenjujemo dobijeni izraz za $\text{tg} x$ u formulu.

\text{tg}(x - y) = \frac{\frac{3}{2}\text{tg} y - \text{tg} y}{1 + \frac{3}{2}\text{tg} y \cdot \text{tg} y}

Sređujemo brojilac i imenilac.

\text{tg}(x - y) = \frac{\frac{1}{2}\text{tg} y}{1 + \frac{3}{2}\text{tg}^2 y}

Množimo brojilac i imenilac sa $2$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

\text{tg}(x - y) = \frac{\text{tg} y}{2 + 3\text{tg}^2 y}

Zamenjujemo dobijeni izraz za $\text{tg}(x - y)$ u levu stranu jednakosti koju treba dokazati.

(2 + 3\text{tg}^2 y)\text{tg}(x - y) = (2 + 3\text{tg}^2 y) \cdot \frac{\text{tg} y}{2 + 3\text{tg}^2 y}

Skraćujemo izraz $2 + 3\text{tg}^2 y$ u brojiocu i imeniocu, čime je dokaz završen.

(2 + 3\text{tg}^2 y)\text{tg}(x - y) = \text{tg} y

668