2476. Adicione formule | Balkan Tutor

Iz date jednakosti izražavamo $\alpha$ preko $\beta .$

\alpha = \beta + \frac{\pi}{4}

Pošto je $\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ,$ vrednost sinusa je pozitivna. Računamo $\sin \beta$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta}

Zamenjujemo datu vrednost za $\cos \beta .$

\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{17\sqrt{2}}{26}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{578}{676}} = \sqrt{\frac{98}{676}} = \frac{7\sqrt{2}}{26}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira kako bismo odredili $\sin \alpha .$

\sin \alpha = \sin\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \beta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \beta \sin \frac{\pi}{4}

Zamenjujemo poznate vrednosti i izvlačimo zajednički faktor $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

\sin \alpha = \frac{7\sqrt{2}}{26} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{17\sqrt{2}}{26} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{7\sqrt{2}}{26} + \frac{17\sqrt{2}}{26} \right)

Sređujemo izraz u zagradi i računamo konačnu vrednost za $\sin \alpha .$

\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{24\sqrt{2}}{26} = \frac{24 \cdot 2}{52} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira kako bismo odredili $\cos \alpha .$

\cos \alpha = \cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \beta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \beta \sin \frac{\pi}{4}

Zamenjujemo poznate vrednosti i izvlačimo zajednički faktor $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

\cos \alpha = \frac{17\sqrt{2}}{26} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{7\sqrt{2}}{26} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{17\sqrt{2}}{26} - \frac{7\sqrt{2}}{26} \right)

Sređujemo izraz u zagradi i računamo konačnu vrednost za $\cos \alpha .$

\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{10\sqrt{2}}{26} = \frac{10 \cdot 2}{52} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}

664