2476.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Ako je α−β=π4, \alpha - \beta = \frac{\pi}{4} , cos⁡β=17226 \cos \beta = \frac{17\sqrt{2}}{26} i β∈(0,π2), \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , odrediti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α. \cos \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Iz date jednakosti izražavamo α \alpha preko β. \beta .

α=β+π4\alpha = \beta + \frac{\pi}{4}

Pošto je β∈(0,π2), \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , vrednost sinusa je pozitivna. Računamo sin⁡β \sin \beta koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

sin⁡β=1−cos⁡2β\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta}

Zamenjujemo datu vrednost za cos⁡β. \cos \beta .

sin⁡β=1−(17226)2=1−578676=98676=7226\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{17\sqrt{2}}{26}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{578}{676}} = \sqrt{\frac{98}{676}} = \frac{7\sqrt{2}}{26}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira kako bismo odredili sin⁡α. \sin \alpha .

sin⁡α=sin⁡(β+π4)=sin⁡βcos⁡π4+cos⁡βsin⁡π4\sin \alpha = \sin\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \beta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \beta \sin \frac{\pi}{4}

Zamenjujemo poznate vrednosti i izvlačimo zajednički faktor 22. \frac{\sqrt{2}}{2} .

sin⁡α=7226⋅22+17226⋅22=22(7226+17226)\sin \alpha = \frac{7\sqrt{2}}{26} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{17\sqrt{2}}{26} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{7\sqrt{2}}{26} + \frac{17\sqrt{2}}{26} \right)

Sređujemo izraz u zagradi i računamo konačnu vrednost za sin⁡α. \sin \alpha .

sin⁡α=22⋅24226=24⋅252=4852=1213\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{24\sqrt{2}}{26} = \frac{24 \cdot 2}{52} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira kako bismo odredili cos⁡α. \cos \alpha .

cos⁡α=cos⁡(β+π4)=cos⁡βcos⁡π4−sin⁡βsin⁡π4\cos \alpha = \cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \beta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \beta \sin \frac{\pi}{4}

Zamenjujemo poznate vrednosti i izvlačimo zajednički faktor 22. \frac{\sqrt{2}}{2} .

cos⁡α=17226⋅22−7226⋅22=22(17226−7226)\cos \alpha = \frac{17\sqrt{2}}{26} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{7\sqrt{2}}{26} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{17\sqrt{2}}{26} - \frac{7\sqrt{2}}{26} \right)

Sređujemo izraz u zagradi i računamo konačnu vrednost za cos⁡α. \cos \alpha .

cos⁡α=22⋅10226=10⋅252=2052=513\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{10\sqrt{2}}{26} = \frac{10 \cdot 2}{52} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti