2474. Adicione formule | Balkan Tutor

Iz uslova zadatka imamo da je zbir uglova $\alpha$ i $\beta$ jednak $60^\circ ,$ pa možemo izraziti $\beta$ preko $\alpha .$

\beta = 60^\circ - \alpha

Traži se vrednost za $\cos \beta ,$ pa primenjujemo kosinus na dobijeni izraz.

\cos \beta = \cos(60^\circ - \alpha)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus razlike: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y .$

\cos \beta = \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha

Znamo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao od $60^\circ ,$ kao i vrednost $\cos \alpha .$ Potrebno je da nađemo $\sin \alpha .$

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \alpha = \frac{11}{13}

Pošto je $\alpha > 0^\circ$ i $\alpha + \beta = 60^\circ$ (gde je $\beta > 0^\circ$ ), zaključujemo da je $0^\circ < \alpha < 60^\circ .$ Ugao $\alpha$ se nalazi u prvom kvadrantu, pa je njegov sinus pozitivan. Računamo $\sin \alpha$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

Zamenjujemo poznatu vrednost za $\cos \alpha .$

\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{11}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{121}{169}}

Sređujemo izraz pod korenom.

\sin \alpha = \sqrt{\frac{169 - 121}{169}} = \sqrt{\frac{48}{169}}

Korenujemo dobijeni razlomak.

\sin \alpha = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{13} = \frac{4\sqrt{3}}{13}

Sada kada imamo sve potrebne vrednosti, vraćamo se u formulu za $\cos \beta$ i zamenjujemo ih.

\cos \beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{13} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{13}

Množimo razlomke.

\cos \beta = \frac{11}{26} + \frac{4 \cdot 3}{26}

Sabiramo razlomke kako bismo dobili konačan rezultat.

\cos \beta = \frac{11 + 12}{26} = \frac{23}{26}

665