2474.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Ako je α>0∘, \alpha > 0^\circ , β>0∘, \beta > 0^\circ , α+β=60∘ \alpha + \beta = 60^\circ i cos⁡α=1113, \cos \alpha = \frac{11}{13} , odrediti cos⁡β. \cos \beta .

REŠENJE ZADATKA

Iz uslova zadatka imamo da je zbir uglova α \alpha i β \beta jednak 60∘, 60^\circ , pa možemo izraziti β \beta preko α. \alpha .

β=60∘−α\beta = 60^\circ - \alpha

Traži se vrednost za cos⁡β, \cos \beta , pa primenjujemo kosinus na dobijeni izraz.

cos⁡β=cos⁡(60∘−α)\cos \beta = \cos(60^\circ - \alpha)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus razlike: cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y. \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y .

cos⁡β=cos⁡60∘cos⁡α+sin⁡60∘sin⁡α\cos \beta = \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha

Znamo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao od 60∘, 60^\circ , kao i vrednost cos⁡α. \cos \alpha . Potrebno je da nađemo sin⁡α. \sin \alpha .

cos⁡60∘=12,sin⁡60∘=32,cos⁡α=1113\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \alpha = \frac{11}{13}

Pošto je α>0∘ \alpha > 0^\circ i α+β=60∘ \alpha + \beta = 60^\circ (gde je β>0∘ \beta > 0^\circ ), zaključujemo da je 0∘<α<60∘. 0^\circ < \alpha < 60^\circ . Ugao α \alpha se nalazi u prvom kvadrantu, pa je njegov sinus pozitivan. Računamo sin⁡α \sin \alpha koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

sin⁡α=1−cos⁡2α\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

Zamenjujemo poznatu vrednost za cos⁡α. \cos \alpha .

sin⁡α=1−(1113)2=1−121169\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{11}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{121}{169}}

Sređujemo izraz pod korenom.

sin⁡α=169−121169=48169\sin \alpha = \sqrt{\frac{169 - 121}{169}} = \sqrt{\frac{48}{169}}

Korenujemo dobijeni razlomak.

sin⁡α=16⋅313=4313\sin \alpha = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{13} = \frac{4\sqrt{3}}{13}

Sada kada imamo sve potrebne vrednosti, vraćamo se u formulu za cos⁡β \cos \beta i zamenjujemo ih.

cos⁡β=12⋅1113+32⋅4313\cos \beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{13} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{13}

Množimo razlomke.

cos⁡β=1126+4⋅326\cos \beta = \frac{11}{26} + \frac{4 \cdot 3}{26}

Sabiramo razlomke kako bismo dobili konačan rezultat.

cos⁡β=11+1226=2326\cos \beta = \frac{11 + 12}{26} = \frac{23}{26}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti