Dokaz identiteta sa kvadratima zbira sinusa i kosinusa

Krenućemo od leve strane identiteta i kvadrirati binome.

(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

\sin^2 x + 2\sin x \sin y + \sin^2 y + \cos^2 x + 2\cos x \cos y + \cos^2 y

Grupišemo odgovarajuće članove kako bismo iskoristili osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + 2\sin x \sin y + 2\cos x \cos y

Zamenjujemo zbirove kvadrata sinusa i kosinusa sa 1.

1 + 1 + 2\sin x \sin y + 2\cos x \cos y

Sabiramo konstante i izvlačimo zajednički faktor $2$ iz preostalih članova.

2 + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus razlike: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$

2 + 2\cos(x - y)

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani identiteta, čime je dokaz završen.

2 + 2\cos(x - y) = 2 + 2\cos(x - y)

666