Dokaz da izraz ne zavisi od promenljive x

Iz prva dva člana izraza izvlačimo zajednički faktor $\sin(\alpha + x) .$

A = \sin(\alpha + x) (\sin(\alpha + x) - 2\sin \alpha \cos x) + \cos^2 x

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira $\sin(\alpha + x) = \sin \alpha \cos x + \cos \alpha \sin x$ unutar zagrade.

A = \sin(\alpha + x) (\sin \alpha \cos x + \cos \alpha \sin x - 2\sin \alpha \cos x) + \cos^2 x

Sređujemo izraz unutar zagrade oduzimanjem odgovarajućih članova.

A = \sin(\alpha + x) (\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x) + \cos^2 x

Sada primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira i na prvi faktor $\sin(\alpha + x) .$

A = (\sin \alpha \cos x + \cos \alpha \sin x) (\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x) + \cos^2 x

Množenjem zagrada prepoznajemo razliku kvadrata $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ,$ gde je $a = \cos \alpha \sin x$ i $b = \sin \alpha \cos x .$

A = \cos^2 \alpha \sin^2 x - \sin^2 \alpha \cos^2 x + \cos^2 x

Iz poslednja dva člana izvlačimo zajednički faktor $\cos^2 x .$

A = \cos^2 \alpha \sin^2 x + \cos^2 x (1 - \sin^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha .$

A = \cos^2 \alpha \sin^2 x + \cos^2 x \cos^2 \alpha

Izvlačimo zajednički faktor $\cos^2 \alpha .$

A = \cos^2 \alpha (\sin^2 x + \cos^2 x)

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

A = \cos^2 \alpha \cdot 1

Dobijamo konačan izraz.

A = \cos^2 \alpha

Pošto dobijeni izraz ne sadrži promenljivu $x ,$ dokazali smo da početni izraz ne zavisi od $x .$

667