2479.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

cos⁡(x−y)cos⁡(x+y)=ctgy+tgxctgy−tgx\frac{\cos(x - y)}{\cos(x + y)} = \frac{\text{ctg} y + \text{tg} x}{\text{ctg} y - \text{tg} x}
REŠENJE ZADATKA

Počećemo od desne strane identiteta i transformisati je tako da dobijemo levu stranu.

ctgy+tgxctgy−tgx\frac{\text{ctg} y + \text{tg} x}{\text{ctg} y - \text{tg} x}

Izrazi funkcije kotangens i tangens preko sinusa i kosinusa koristeći osnovne trigonometrijske identitete: ctgy=cos⁡ysin⁡y \text{ctg} y = \frac{\cos y}{\sin y} i tgx=sin⁡xcos⁡x. \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} .

cos⁡ysin⁡y+sin⁡xcos⁡xcos⁡ysin⁡y−sin⁡xcos⁡x\frac{\frac{\cos y}{\sin y} + \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos y}{\sin y} - \frac{\sin x}{\cos x}}

Svedi izraze u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac, koji je sin⁡ycos⁡x. \sin y \cos x .

cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡ysin⁡ycos⁡xcos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡ysin⁡ycos⁡x\frac{\frac{\cos x \cos y + \sin x \sin y}{\sin y \cos x}}{\frac{\cos x \cos y - \sin x \sin y}{\sin y \cos x}}

Skrati dvojni razlomak tako što ćeš eliminisati zajednički imenilac sin⁡ycos⁡x \sin y \cos x iz brojioca i imenioca.

cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡ycos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\frac{\cos x \cos y + \sin x \sin y}{\cos x \cos y - \sin x \sin y}

Primeni adicione formule za kosinus razlike i kosinus zbira uglova: cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y i cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y. \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y .

cos⁡(x−y)cos⁡(x+y)\frac{\cos(x - y)}{\cos(x + y)}

Dobili smo izraz koji je jednak levoj strani početnog identiteta, čime je dokaz uspešno završen.

cos⁡(x−y)cos⁡(x+y)=cos⁡(x−y)cos⁡(x+y)\frac{\cos(x - y)}{\cos(x + y)} = \frac{\cos(x - y)}{\cos(x + y)}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti