Jednačina tangens (2x + 1) puta kotangens (x + 1)

Prvo, određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Funkcija tangens je definisana kada je kosinus različit od nule, a kotangens kada je sinus različit od nule:

\begin{cases} \cos(2x + 1) \neq 0 \\ \sin(x + 1) \neq 0 \end{cases}

Rešavamo ove uslove kako bismo znali koja rešenja moramo da odbacimo:

\begin{cases} x \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{k\pi}{2} \\ x \neq -1 + m\pi \end{cases}, \quad k, m \in \mathbf{Z}

Zapisujemo funkcije tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa:

\frac{\sin(2x + 1)}{\cos(2x + 1)} \cdot \frac{\cos(x + 1)}{\sin(x + 1)} = 1

Množenjem obe strane jednačine imeniocem (koji je različit od nule zbog uslova domena), dobijamo:

\sin(2x + 1)\cos(x + 1) = \cos(2x + 1)\sin(x + 1)

Prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine:

\sin(2x + 1)\cos(x + 1) - \cos(2x + 1)\sin(x + 1) = 0

Prepoznajemo adicionu formulu za sinus razlike uglova $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta :$

\sin((2x + 1) - (x + 1)) = 0

Sređivanjem izraza unutar sinusa dobijamo jednostavnu trigonometrijsku jednačinu:

\sin x = 0

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

x = n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu. Zamenom $x = n\pi$ u uslove domena dobijamo:

\begin{cases} n\pi \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{k\pi}{2} \\ n\pi \neq -1 + m\pi \end{cases}

Ovi uslovi se mogu zapisati kao $\pi(n - \frac{k}{2} - \frac{1}{4}) \neq -\frac{1}{2}$ i $\pi(n - m) \neq -1 .$ S obzirom da je $\pi$ iracionalan broj, a desne strane su racionalni brojevi, ove nejednakosti su uvek tačne za sve cele brojeve $n, k, m .$

Sva dobijena rešenja su validna. Konačno rešenje jednačine je:

x = n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Započni učenje

Online časovi

896

Beleške