2832. Trigonometrijske jednačine

Pre rešavanja jednačine, definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću.

|x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{za } x - 2 \ge 0 \\ -(x - 2), & \text{za } x - 2 < 0 \end{cases}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu tako što posmatramo $|x - 2|$ kao nepoznatu.

|x - 2| = \operatorname{arctg}(-1) + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Zamenjujemo vrednost za arkus tangens od -1.

|x - 2| = -\frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Pošto je apsolutna vrednost uvek nenegativna, izraz sa desne strane mora biti veći ili jednak nuli.

-\frac{\pi}{4} + n\pi \ge 0

Rešavamo dobijenu nejednačinu po $n$ da bismo odredili dozvoljene vrednosti celog broja $n .$

n\pi \ge \frac{\pi}{4} \implies n \ge \frac{1}{4}

Kako je $n$ ceo broj ( $n \in \mathbf{Z}$ ), zaključujemo da $n$ mora biti prirodan broj.

n \in \mathbf{N} \quad (n \ge 1)

Sada razdvajamo jednačinu na dva slučaja na osnovu definicije apsolutne vrednosti. Prvi slučaj je kada je $x - 2 \ge 0 .$

x - 2 = -\frac{\pi}{4} + n\pi

Izražavamo $x$ za prvi slučaj.

x = 2 - \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbf{N}

Drugi slučaj je kada je $x - 2 < 0 .$

-(x - 2) = -\frac{\pi}{4} + n\pi

Množimo jednačinu sa -1 i izražavamo $x$ za drugi slučaj.

x - 2 = \frac{\pi}{4} - n\pi \implies x = 2 + \frac{\pi}{4} - n\pi, \quad n \in \mathbf{N}

Konačno rešenje možemo zapisati objedinjavanjem oba slučaja.

x = 2 \pm \left(n\pi - \frac{\pi}{4}\right), \quad n \in \mathbf{N}

895.v