2074.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 609-617): sin⁡3α(1+ctg α)+cos⁡3α(1+tg α)=sin⁡α+cos⁡α \sin^3 \alpha(1 + \text{ctg} \, \alpha) + \cos^3 \alpha(1 + \text{tg} \, \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha za α≠πk2,k∈Z. \alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta.

sin⁡3α(1+ctg α)+cos⁡3α(1+tg α)\sin^3 \alpha(1 + \text{ctg} \, \alpha) + \cos^3 \alpha(1 + \text{tg} \, \alpha)

Zapisujemo funkcije tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa.

ctg α=cos⁡αsin⁡α,tg α=sin⁡αcos⁡α\text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Zamenjujemo ove izraze u početnu jednačinu.

sin⁡3α(1+cos⁡αsin⁡α)+cos⁡3α(1+sin⁡αcos⁡α)\sin^3 \alpha \left(1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) + \cos^3 \alpha \left(1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)

Svodimo izraze u zagradama na zajednički imenilac.

sin⁡3α(sin⁡α+cos⁡αsin⁡α)+cos⁡3α(cos⁡α+sin⁡αcos⁡α)\sin^3 \alpha \left(\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}\right) + \cos^3 \alpha \left(\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}\right)

Skraćujemo sin⁡3α \sin^3 \alpha sa sin⁡α \sin \alpha i cos⁡3α \cos^3 \alpha sa cos⁡α. \cos \alpha .

sin⁡2α(sin⁡α+cos⁡α)+cos⁡2α(cos⁡α+sin⁡α)\sin^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) + \cos^2 \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)

Izvlačimo zajednički činilac (sin⁡α+cos⁡α) (\sin \alpha + \cos \alpha) ispred zagrade.

(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α+cos⁡2α)(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

(sin⁡α+cos⁡α)⋅1=sin⁡α+cos⁡α(\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot 1 = \sin \alpha + \cos \alpha

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani identiteta, čime je dokaz završen. Uslov α≠πk2 \alpha \neq \frac{\pi k}{2} obezbeđuje da su tangens i kotangens definisani (imenioci različiti od nule).

sin⁡α+cos⁡α=sin⁡α+cos⁡α\sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \cos \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti