Trigonometrijski identitet: sin na treći (1 + ctg α)

Polazimo od leve strane identiteta.

\sin^3 \alpha(1 + \text{ctg} \, \alpha) + \cos^3 \alpha(1 + \text{tg} \, \alpha)

Zapisujemo funkcije tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa.

\text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Zamenjujemo ove izraze u početnu jednačinu.

\sin^3 \alpha \left(1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) + \cos^3 \alpha \left(1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)

Svodimo izraze u zagradama na zajednički imenilac.

\sin^3 \alpha \left(\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}\right) + \cos^3 \alpha \left(\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}\right)

Skraćujemo $\sin^3 \alpha$ sa $\sin \alpha$ i $\cos^3 \alpha$ sa $\cos \alpha .$

\sin^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) + \cos^2 \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)

Izvlačimo zajednički činilac $(\sin \alpha + \cos \alpha)$ ispred zagrade.

(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

(\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot 1 = \sin \alpha + \cos \alpha

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani identiteta, čime je dokaz završen. Uslov $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$ obezbeđuje da su tangens i kotangens definisani (imenioci različiti od nule).

\sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \cos \alpha

Započni učenje

Privatni časovi

612

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci