Trigonometrijski identitet sa sin i cos na 4. i 6.

Transformisaćemo levu stranu jednakosti. Prvo ćemo izraziti $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$ dopunom do potpunog kvadrata, koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Zatim ćemo transformisati izraz $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$ koristeći formulu za zbir kubova $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) ,$ gde je $a = \sin^2 \alpha$ i $b = \cos^2 \alpha .$

\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)

Pošto je $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ izraz se uprošćava. Takođe, iskoristićemo prethodno dobijeni rezultat za $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha .$

1 \cdot (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Sada ćemo zameniti dobijene izraze u početnu levu stranu identiteta.

3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)

Množenjem i sređivanjem izraza dobijamo konačan rezultat.

3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 3 - 2 = 1

Dobili smo da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

1 = 1

Započni učenje

Privatni časovi

611

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci