PrethodniSledeći
2069.

611

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: 3(sin⁡4α+cos⁡4α)−2(sin⁡6α+cos⁡6α)=1. 3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) = 1 .

REŠENJE ZADATKA

Transformisaćemo levu stranu jednakosti. Prvo ćemo izraziti sin⁡4α+cos⁡4α \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha dopunom do potpunog kvadrata, koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

sin⁡4α+cos⁡4α=(sin⁡2α+cos⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α=12−2sin⁡2αcos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Zatim ćemo transformisati izraz sin⁡6α+cos⁡6α \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha koristeći formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2), a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) , gde je a=sin⁡2α a = \sin^2 \alpha i b=cos⁡2α. b = \cos^2 \alpha .

sin⁡6α+cos⁡6α=(sin⁡2α)3+(cos⁡2α)3=(sin⁡2α+cos⁡2α)(sin⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)

Pošto je sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , izraz se uprošćava. Takođe, iskoristićemo prethodno dobijeni rezultat za sin⁡4α+cos⁡4α. \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha .

1⋅(1−2sin⁡2αcos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α)=1−3sin⁡2αcos⁡2α1 \cdot (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Sada ćemo zameniti dobijene izraze u početnu levu stranu identiteta.

3(1−2sin⁡2αcos⁡2α)−2(1−3sin⁡2αcos⁡2α)3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)

Množenjem i sređivanjem izraza dobijamo konačan rezultat.

3−6sin⁡2αcos⁡2α−2+6sin⁡2αcos⁡2α=3−2=13 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 3 - 2 = 1

Dobili smo da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

1=11 = 1

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu