2067.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=tg α−ctg α,α≠πk2,  k∈Z\frac{1 - 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha, \quad \alpha \neq \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{1 - 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet da zamenimo broj 1 1 u brojiocu:

1=sin⁡2α+cos⁡2α1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha

Zamenjujemo ovo u početni izraz:

sin⁡2α+cos⁡2α−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Sređujemo brojilac oduzimanjem odgovarajućih članova:

sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Razdvajamo razlomak na razliku dva razlomka:

sin⁡2αsin⁡αcos⁡α−cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Skraćujemo prvi razlomak sa sin⁡α \sin \alpha i drugi razlomak sa cos⁡α: \cos \alpha :

sin⁡αcos⁡α−cos⁡αsin⁡α\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Primenjujemo definicije za tangens i kotangens (tg α=sin⁡αcos⁡α \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} i ctg α=cos⁡αsin⁡α \text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ):

tg α−ctg α\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha

Dobili smo desnu stranu, čime je identitet dokazan za sve vrednosti α \alpha za koje su izrazi definisani, odnosno za α≠πk2. \alpha \neq \frac{\pi k}{2} .

1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=tg α−ctg α\frac{1 - 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti