2068.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡α1−cos⁡α=1+cos⁡αsin⁡α\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}

uz uslov:

α≠πk,k∈Z\alpha \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

sin⁡α1−cos⁡α\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha}

Množimo brojilac i imenilac sa 1+cos⁡α 1 + \cos \alpha kako bismo u imeniocu dobili razliku kvadrata:

sin⁡α1−cos⁡α⋅1+cos⁡α1+cos⁡α\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} \cdot \frac{1 + \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata (a−b)(a+b)=a2−b2 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 u imeniocu:

sin⁡α(1+cos⁡α)1−cos⁡2α\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odakle sledi da je 1−cos⁡2α=sin⁡2α: 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha :

sin⁡α(1+cos⁡α)sin⁡2α\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha}

Skraćujemo sin⁡α \sin \alpha u brojiocu i imeniocu. Ovo je dozvoljeno jer iz uslova α≠πk \alpha \neq \pi k sledi da je sin⁡α≠0: \sin \alpha \neq 0 :

1+cos⁡αsin⁡α\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani, čime je identitet dokazan.

sin⁡α1−cos⁡α=1+cos⁡αsin⁡α\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti