2068. Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Polazimo od leve strane identiteta:

\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha}

Množimo brojilac i imenilac sa $1 + \cos \alpha$ kako bismo u imeniocu dobili razliku kvadrata:

\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} \cdot \frac{1 + \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ u imeniocu:

\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ odakle sledi da je $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha :$

\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha}

Skraćujemo $\sin \alpha$ u brojiocu i imeniocu. Ovo je dozvoljeno jer iz uslova $\alpha \neq \pi k$ sledi da je $\sin \alpha \neq 0 :$

\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani, čime je identitet dokazan.

\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}

609