2073.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 609-617):

2sin⁡αcos⁡αctg α−sin⁡αcos⁡α=2tg2 αza α≠πk2,k∈Z\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\text{ctg} \, \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2 \text{tg}^2 \, \alpha \quad \text{za } \alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Prvo ćemo izraziti kotangens preko sinusa i kosinusa koristeći osnovni identitet ctg α=cos⁡αsin⁡α. \text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

2sin⁡αcos⁡αcos⁡αsin⁡α−sin⁡αcos⁡α\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \cos \alpha}

U imeniocu možemo izvući cos⁡α \cos \alpha ispred zagrade kao zajednički činilac.

2sin⁡αcos⁡αcos⁡α(1sin⁡α−sin⁡α)\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \left( \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha \right)}

Skraćujemo razlomak sa cos⁡α, \cos \alpha , što je dozvoljeno jer uslov α≠πk2 \alpha \neq \frac{\pi k}{2} garantuje da je cos⁡α≠0. \cos \alpha \neq 0 .

2sin⁡α1sin⁡α−sin⁡α\frac{2 \sin \alpha}{\frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha}

Svodimo izraz u imeniocu na zajednički imenilac.

2sin⁡α1−sin⁡2αsin⁡α\frac{2 \sin \alpha}{\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha}}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , iz kojeg kratkim izvođenjem dobijamo da je 1−sin⁡2α=cos⁡2α. 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha .

2sin⁡αcos⁡2αsin⁡α\frac{2 \sin \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

2sin⁡2αcos⁡2α\frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}

Koristeći definiciju tangensa tg α=sin⁡αcos⁡α, \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , dobijamo konačan izraz.

2(sin⁡αcos⁡α)2=2tg2 α2 \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = 2 \text{tg}^2 \, \alpha

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen. Uslov α≠πk2 \alpha \neq \frac{\pi k}{2} obezbeđuje da su sve funkcije definisane i da imenioci nisu nula.

2sin⁡αcos⁡αctg α−sin⁡αcos⁡α=2tg2 α\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\text{ctg} \, \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2 \text{tg}^2 \, \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti