614

Polazimo od leve strane jednakosti:

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na imenilac drugog razlomka, $\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) :$

Skraćujemo drugi razlomak sa $\sin x + \cos x .$ Ovo je dozvoljeno jer iz uslova zadatka $x \neq -\frac{\pi}{4} + n\pi$ sledi da je $\sin x + \cos x \neq 0 :$

Sada oba razlomka imaju isti imenilac, pa ih možemo spojiti u jedan razlomak:

Ponovo primenjujemo formulu za razliku kvadrata, ovog puta na brojilac dobijenog razlomka:

Skraćujemo razlomak sa $\sin x - \cos x .$ Ovo je dozvoljeno jer iz uslova zadatka $x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$ sledi da je $\sin x - \cos x \neq 0 :$

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.