2071.

614

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet uz uslove x≠π4+kπ∧x≠−π4+nπ x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi \land x \neq -\frac{\pi}{4} + n\pi za k,n∈Z: k, n \in \mathbb{Z} :

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2x(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡2x−cos⁡2x=sin⁡x+cos⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)}{\sin^2 x - \cos^2 x} = \sin x + \cos x
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2x(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡2x−cos⁡2x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)}{\sin^2 x - \cos^2 x}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na imenilac drugog razlomka, sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x): \sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) :

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2x(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)}{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}

Skraćujemo drugi razlomak sa sin⁡x+cos⁡x. \sin x + \cos x . Ovo je dozvoljeno jer iz uslova zadatka x≠−π4+nπ x \neq -\frac{\pi}{4} + n\pi sledi da je sin⁡x+cos⁡x≠0: \sin x + \cos x \neq 0 :

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Sada oba razlomka imaju isti imenilac, pa ih možemo spojiti u jedan razlomak:

sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Ponovo primenjujemo formulu za razliku kvadrata, ovog puta na brojilac dobijenog razlomka:

(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x−cos⁡x\frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x}

Skraćujemo razlomak sa sin⁡x−cos⁡x. \sin x - \cos x . Ovo je dozvoljeno jer iz uslova zadatka x≠π4+kπ x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi sledi da je sin⁡x−cos⁡x≠0: \sin x - \cos x \neq 0 :

sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x = \sin x + \cos x