2072.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet za α≠π2+kπ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi gde je k∈Z: k \in \mathbb{Z} :

(tgα−sin⁡α)2+(1−cos⁡α)2=(1cos⁡α−1)2(\text{tg} \alpha - \sin \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{\cos \alpha} - 1\right)^2
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Prvo ćemo izraziti tangens preko sinusa i kosinusa koristeći osnovni trigonometrijski identitet tgα=sin⁡αcos⁡α. \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

(sin⁡αcos⁡α−sin⁡α)2+(1−cos⁡α)2\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha\right)^2 + (1 - \cos \alpha)^2

Svodićemo izraze u prvoj zagradi na zajednički imenilac.

(sin⁡α−sin⁡αcos⁡αcos⁡α)2+(1−cos⁡α)2\left(\frac{\sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 + (1 - \cos \alpha)^2

Izvlačimo zajednički činilac sin⁡α \sin \alpha u brojiocu prve zagrade.

(sin⁡α(1−cos⁡α)cos⁡α)2+(1−cos⁡α)2\left(\frac{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{\cos \alpha}\right)^2 + (1 - \cos \alpha)^2

Kvadriramo izraz u prvoj zagradi.

sin⁡2α(1−cos⁡α)2cos⁡2α+(1−cos⁡α)2\frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos \alpha)^2}{\cos^2 \alpha} + (1 - \cos \alpha)^2

Sada možemo da izvučemo zajednički činilac (1−cos⁡α)2 (1 - \cos \alpha)^2 iz oba sabirka.

(1−cos⁡α)2(sin⁡2αcos⁡2α+1)(1 - \cos \alpha)^2 \left( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1 \right)

Svodićemo izraz u drugoj zagradi na zajednički imenilac.

(1−cos⁡α)2(sin⁡2α+cos⁡2αcos⁡2α)(1 - \cos \alpha)^2 \left( \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

(1−cos⁡α)2⋅1cos⁡2α(1 - \cos \alpha)^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Množimo izraze i zapisujemo ih pod zajedničkim kvadratom.

(1−cos⁡αcos⁡α)2\left( \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha} \right)^2

Delimo svaki član u brojiocu sa imeniocem.

(1cos⁡α−cos⁡αcos⁡α)2\left( \frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} \right)^2

Skraćivanjem dobijamo izraz koji se nalazi na desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet dokazan.

(1cos⁡α−1)2\left( \frac{1}{\cos \alpha} - 1 \right)^2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti