Trigonometrijski identitet: (tg α − sin α) na kvadrat

Polazimo od leve strane jednakosti. Prvo ćemo izraziti tangens preko sinusa i kosinusa koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .$

\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha\right)^2 + (1 - \cos \alpha)^2

Svodićemo izraze u prvoj zagradi na zajednički imenilac.

\left(\frac{\sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 + (1 - \cos \alpha)^2

Izvlačimo zajednički činilac $\sin \alpha$ u brojiocu prve zagrade.

\left(\frac{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{\cos \alpha}\right)^2 + (1 - \cos \alpha)^2

Kvadriramo izraz u prvoj zagradi.

\frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos \alpha)^2}{\cos^2 \alpha} + (1 - \cos \alpha)^2

Sada možemo da izvučemo zajednički činilac $(1 - \cos \alpha)^2$ iz oba sabirka.

(1 - \cos \alpha)^2 \left( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1 \right)

Svodićemo izraz u drugoj zagradi na zajednički imenilac.

(1 - \cos \alpha)^2 \left( \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

(1 - \cos \alpha)^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Množimo izraze i zapisujemo ih pod zajedničkim kvadratom.

\left( \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha} \right)^2

Delimo svaki član u brojiocu sa imeniocem.

\left( \frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} \right)^2

Skraćivanjem dobijamo izraz koji se nalazi na desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet dokazan.

\left( \frac{1}{\cos \alpha} - 1 \right)^2

Započni učenje

Privatni časovi

615

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci