PrethodniSledeći
2070.

616

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: tg α+1cos⁡3α−1sec⁡α−tg α=sin⁡2αcos⁡3α \text{tg} \, \alpha + \frac{1}{\cos^3 \alpha} - \frac{1}{\sec \alpha - \text{tg} \, \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^3 \alpha} za α≠π2+kπ,k∈Z. \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

tg α+1cos⁡3α−1sec⁡α−tg α\text{tg} \, \alpha + \frac{1}{\cos^3 \alpha} - \frac{1}{\sec \alpha - \text{tg} \, \alpha}

Posmatrajmo treći član izraza. Zamenjujemo sec⁡α=1cos⁡α \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} i tg α=sin⁡αcos⁡α: \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} :

1sec⁡α−tg α=11cos⁡α−sin⁡αcos⁡α\frac{1}{\sec \alpha - \text{tg} \, \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}

Oduzimamo razlomke u imeniocu i rešavamo dvojni razlomak:

11−sin⁡αcos⁡α=cos⁡α1−sin⁡α\frac{1}{\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}

Množimo brojilac i imenilac sa 1+sin⁡α 1 + \sin \alpha kako bismo u imeniocu dobili razliku kvadrata:

cos⁡α(1+sin⁡α)(1−sin⁡α)(1+sin⁡α)=cos⁡α(1+sin⁡α)1−sin⁡2α\frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odakle sledi da je 1−sin⁡2α=cos⁡2α: 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha :

cos⁡α(1+sin⁡α)cos⁡2α\frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{\cos^2 \alpha}

Skraćujemo razlomak sa cos⁡α \cos \alpha i razdvajamo ga na dva dela:

1+sin⁡αcos⁡α=1cos⁡α+sin⁡αcos⁡α=1cos⁡α+tg α\frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} + \text{tg} \, \alpha

Vraćamo dobijeni izraz u početnu jednačinu za levu stranu:

tg α+1cos⁡3α−(1cos⁡α+tg α)\text{tg} \, \alpha + \frac{1}{\cos^3 \alpha} - \left( \frac{1}{\cos \alpha} + \text{tg} \, \alpha \right)

Oslobađamo se zagrade i potiremo suprotne članove tg α \text{tg} \, \alpha i −tg α: -\text{tg} \, \alpha :

1cos⁡3α−1cos⁡α\frac{1}{\cos^3 \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha}

Svodimo preostale članove na zajednički imenilac cos⁡3α: \cos^3 \alpha :

1−cos⁡2αcos⁡3α\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^3 \alpha}

Ponovo koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1−cos⁡2α=sin⁡2α: 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha :

sin⁡2αcos⁡3α\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^3 \alpha}

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početnog identiteta, čime je dokaz završen.

tg α+1cos⁡3α−1sec⁡α−tg α=sin⁡2αcos⁡3α\text{tg} \, \alpha + \frac{1}{\cos^3 \alpha} - \frac{1}{\sec \alpha - \text{tg} \, \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^3 \alpha}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu