2075.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 609-617): 1+sin⁡α+cos⁡α+tg⁡α=(1+cos⁡α)(1+tg⁡α) 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \tg \alpha = (1 + \cos \alpha)(1 + \tg \alpha) za α≠π2+kπ,k∈Z. \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Krenućemo od desne strane jednakosti i pokušaćemo da je transformišemo tako da dobijemo levu stranu.

(1+cos⁡α)(1+tg⁡α)(1 + \cos \alpha)(1 + \tg \alpha)

Množimo svaki član prve zagrade sa svakim članom druge zagrade.

1⋅1+1⋅tg⁡α+cos⁡α⋅1+cos⁡α⋅tg⁡α1 \cdot 1 + 1 \cdot \tg \alpha + \cos \alpha \cdot 1 + \cos \alpha \cdot \tg \alpha

Sređujemo dobijeni izraz.

1+tg⁡α+cos⁡α+cos⁡α⋅tg⁡α1 + \tg \alpha + \cos \alpha + \cos \alpha \cdot \tg \alpha

Znamo da se tangens ugla može zapisati kao količnik sinusa i kosinusa tog ugla, odnosno tg⁡α=sin⁡αcos⁡α. \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

1+tg⁡α+cos⁡α+cos⁡α⋅sin⁡αcos⁡α1 + \tg \alpha + \cos \alpha + \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Skraćujemo cos⁡α \cos \alpha u poslednjem sabirku. Ovo je dozvoljeno jer je uslovom zadatka dato α≠π2+kπ, \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi , što znači da je cos⁡α≠0. \cos \alpha \neq 0 .

1+tg⁡α+cos⁡α+sin⁡α1 + \tg \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha

Grupisanjem i zamenom mesta sabircima dobijamo izraz koji se nalazi na levoj strani početne jednakosti.

1+sin⁡α+cos⁡α+tg⁡α1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \tg \alpha

Ovim smo dokazali traženi identitet.

1+sin⁡α+cos⁡α+tg⁡α=(1+cos⁡α)(1+tg⁡α)1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \tg \alpha = (1 + \cos \alpha)(1 + \tg \alpha)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti