2095.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

(ctgα+1)2+(ctgα−1)2(\text{ctg} \alpha + 1)^2 + (\text{ctg} \alpha - 1)^2
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma (A±B)2=A2±2AB+B2 (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 na oba sabirka:

(ctg2α+2ctgα+1)+(ctg2α−2ctgα+1)(\text{ctg}^2 \alpha + 2\text{ctg} \alpha + 1) + (\text{ctg}^2 \alpha - 2\text{ctg} \alpha + 1)

Sabiramo slične članove. Članovi 2ctgα 2\text{ctg} \alpha i −2ctgα -2\text{ctg} \alpha se potiru:

2ctg2α+22\text{ctg}^2 \alpha + 2

Izvlačimo zajednički činilac 2 2 ispred zagrade:

2(ctg2α+1)2(\text{ctg}^2 \alpha + 1)

Izvodimo manje poznat trigonometrijski identitet za izraz u zagradi. Koristimo definiciju kotangensa ctgα=cos⁡αsin⁡α \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} i osnovni identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1: \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :

ctg2α+1=cos⁡2αsin⁡2α+1=cos⁡2α+sin⁡2αsin⁡2α=1sin⁡2α\text{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1 = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}

Zamenjujemo dobijeni identitet nazad u izraz kako bismo dobili konačno rešenje:

2⋅1sin⁡2α=2sin⁡2α2 \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin^2 \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti