Uprošćavanje izraza sa 1 − tg kvadrat x: sin x + cos x

Prvo ćemo transformisati drugi sabirak. Koristimo osnovni trigonometrijski identitet za tangens: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} .$

1 - \tg^2 x = 1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}

Svodimo izraz u imeniocu na zajednički imenilac.

1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u drugi razlomak i rešavamo dvojni razlomak.

\frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na imenilac $\cos^2 x - \sin^2 x .$

\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

Sada možemo da skratimo razlomak, jer se izraz $\sin x + \cos x$ nalazi i u brojiocu i u imeniocu (važi $\sin x + \cos x = \cos x + \sin x$ ).

\frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}

Vraćamo se na početni izraz i zamenjujemo uprošćeni drugi sabirak.

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}

Primećujemo da su imenioci suprotnog znaka. Izvlačimo minus ispred drugog razlomka kako bismo izjednačili imenioce.

\frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x} = -\frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Sada možemo da spojimo razlomke jer imaju isti imenilac.

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Ponovo primenjujemo razliku kvadrata, ovog puta na brojilac $\sin^2 x - \cos^2 x .$

\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

Zamenjujemo faktorizovan brojilac u razlomak i skraćujemo zajednički član $\sin x - \cos x .$

\frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x} = \sin x + \cos x

Konačan rezultat nakon uprošćavanja izraza je:

\sin x + \cos x

625.a