2097.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+sin⁡x+cos⁡x1−tg⁡2x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{1 - \tg^2 x}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati drugi sabirak. Koristimo osnovni trigonometrijski identitet za tangens: tg⁡x=sin⁡xcos⁡x. \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} .

1−tg⁡2x=1−sin⁡2xcos⁡2x1 - \tg^2 x = 1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}

Svodimo izraz u imeniocu na zajednički imenilac.

1−sin⁡2xcos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2xcos⁡2x1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u drugi razlomak i rešavamo dvojni razlomak.

sin⁡x+cos⁡xcos⁡2x−sin⁡2xcos⁡2x=(sin⁡x+cos⁡x)cos⁡2xcos⁡2x−sin⁡2x\frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na imenilac cos⁡2x−sin⁡2x. \cos^2 x - \sin^2 x .

cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

Sada možemo da skratimo razlomak, jer se izraz sin⁡x+cos⁡x \sin x + \cos x nalazi i u brojiocu i u imeniocu (važi sin⁡x+cos⁡x=cos⁡x+sin⁡x \sin x + \cos x = \cos x + \sin x ).

(sin⁡x+cos⁡x)cos⁡2x(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)=cos⁡2xcos⁡x−sin⁡x\frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}

Vraćamo se na početni izraz i zamenjujemo uprošćeni drugi sabirak.

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+cos⁡2xcos⁡x−sin⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}

Primećujemo da su imenioci suprotnog znaka. Izvlačimo minus ispred drugog razlomka kako bismo izjednačili imenioce.

cos⁡2xcos⁡x−sin⁡x=−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x\frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x} = -\frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Sada možemo da spojimo razlomke jer imaju isti imenilac.

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Ponovo primenjujemo razliku kvadrata, ovog puta na brojilac sin⁡2x−cos⁡2x. \sin^2 x - \cos^2 x .

sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

Zamenjujemo faktorizovan brojilac u razlomak i skraćujemo zajednički član sin⁡x−cos⁡x. \sin x - \cos x .

(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x−cos⁡x=sin⁡x+cos⁡x\frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x} = \sin x + \cos x

Konačan rezultat nakon uprošćavanja izraza je:

sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti