2091. Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Primećujemo da je izraz oblika razlike kvadrata $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2 ,$ gde je $A = 1 + \text{ctg} x$ i $B = \frac{1}{\sin x} .$ Primenjujemo ovu formulu.

\left(1 + \text{ctg} x\right)^2 - \left(\frac{1}{\sin x}\right)^2

Kvadriramo prvi član koristeći formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ i kvadriramo razlomak.

1 + 2\text{ctg} x + \text{ctg}^2 x - \frac{1}{\sin^2 x}

Da bismo uprostili izraz, podsetimo se osnovnog trigonometrijskog identiteta $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$ Ako podelimo celu jednačinu sa $\sin^2 x ,$ dobijamo vezu između kotangensa i sinusa.

\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} \implies 1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}

Iz prethodnog identiteta možemo izraziti razliku $\text{ctg}^2 x - \frac{1}{\sin^2 x}$ prebacivanjem članova.

\text{ctg}^2 x - \frac{1}{\sin^2 x} = -1

Zamenjujemo dobijenu vrednost nazad u naš izraz.

1 + 2\text{ctg} x - 1

Poništavamo brojeve $1$ i $-1$ i dobijamo konačan rezultat.

2\text{ctg} x

624.g