2092.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

sin⁡2αtg⁡2α+2cos⁡2αctg⁡2α−sin⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\tg^2 \alpha} + \frac{2 \cos^2 \alpha}{\ctg^2 \alpha} - \sin^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Prvo, podsetimo se osnovnih definicija za tangens i kotangens. Tangens ugla je jednak količniku sinusa i kosinusa, dok je kotangens jednak količniku kosinusa i sinusa.

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Kvadriranjem ovih jednakosti dobijamo izraze za tg⁡2α \tg^2 \alpha i ctg⁡2α. \ctg^2 \alpha .

tg⁡2α=sin⁡2αcos⁡2α,ctg⁡2α=cos⁡2αsin⁡2α\tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}, \quad \ctg^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Zamenićemo ove izraze u početni zadatak.

sin⁡2αsin⁡2αcos⁡2α+2cos⁡2αcos⁡2αsin⁡2α−sin⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} + \frac{2 \cos^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} - \sin^2 \alpha

Sada ćemo uprostiti dvojne razlomke. Kod prvog razlomka sin⁡2α \sin^2 \alpha se krati, a kod drugog se krati cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

(sin⁡2α⋅cos⁡2αsin⁡2α)+(2cos⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α)−sin⁡2α\left(\sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right) + \left(2 \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) - \sin^2 \alpha

Nakon skraćivanja, izraz postaje znatno jednostavniji.

cos⁡2α+2sin⁡2α−sin⁡2α\cos^2 \alpha + 2 \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Oduzimanjem sin⁡2α \sin^2 \alpha od 2sin⁡2α 2 \sin^2 \alpha dobijamo:

cos⁡2α+sin⁡2α\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha

Na kraju, primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet koji kaže da je zbir kvadrata sinusa i kosinusa istog ugla uvek jednak 1.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti