Uprošćavanje izraza sa sin kvadrat kroz tg kvadrat

Prvo, podsetimo se osnovnih definicija za tangens i kotangens. Tangens ugla je jednak količniku sinusa i kosinusa, dok je kotangens jednak količniku kosinusa i sinusa.

\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Kvadriranjem ovih jednakosti dobijamo izraze za $\tg^2 \alpha$ i $\ctg^2 \alpha .$

\tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}, \quad \ctg^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Zamenićemo ove izraze u početni zadatak.

\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} + \frac{2 \cos^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} - \sin^2 \alpha

Sada ćemo uprostiti dvojne razlomke. Kod prvog razlomka $\sin^2 \alpha$ se krati, a kod drugog se krati $\cos^2 \alpha .$

\left(\sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right) + \left(2 \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) - \sin^2 \alpha

Nakon skraćivanja, izraz postaje znatno jednostavniji.

\cos^2 \alpha + 2 \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Oduzimanjem $\sin^2 \alpha$ od $2 \sin^2 \alpha$ dobijamo:

\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha

Na kraju, primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet koji kaže da je zbir kvadrata sinusa i kosinusa istog ugla uvek jednak 1.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Započni učenje

Privatni časovi

624.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci