2093.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći trigonometrijski izraz:

tg⁡β1+tg⁡β+ctg⁡β1+ctg⁡β\frac{\tg \beta}{1 + \tg \beta} + \frac{\ctg \beta}{1 + \ctg \beta}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo uprostili izraz, iskoristićemo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje tangens i kotangens istog ugla: ctg⁡β=1tg⁡β. \ctg \beta = \frac{1}{\tg \beta} .

ctg⁡β=1tg⁡β\ctg \beta = \frac{1}{\tg \beta}

Zamenićemo ctg⁡β \ctg \beta u drugom razlomku datog izraza.

tg⁡β1+tg⁡β+1tg⁡β1+1tg⁡β\frac{\tg \beta}{1 + \tg \beta} + \frac{\frac{1}{\tg \beta}}{1 + \frac{1}{\tg \beta}}

Sredićemo imenilac drugog razlomka tako što ćemo sabrati jedinicu i razlomak.

1+1tg⁡β=tg⁡βtg⁡β+1tg⁡β=tg⁡β+1tg⁡β1 + \frac{1}{\tg \beta} = \frac{\tg \beta}{\tg \beta} + \frac{1}{\tg \beta} = \frac{\tg \beta + 1}{\tg \beta}

Sada izraz izgleda ovako:

tg⁡β1+tg⁡β+1tg⁡βtg⁡β+1tg⁡β\frac{\tg \beta}{1 + \tg \beta} + \frac{\frac{1}{\tg \beta}}{\frac{\tg \beta + 1}{\tg \beta}}

Rešićemo dvojni razlomak. Skraćivanjem imenioca tg⁡β \tg \beta dobijamo:

1tg⁡βtg⁡β+1tg⁡β=1tg⁡β+1\frac{\frac{1}{\tg \beta}}{\frac{\tg \beta + 1}{\tg \beta}} = \frac{1}{\tg \beta + 1}

Vraćamo dobijeni rezultat u početni izraz.

tg⁡β1+tg⁡β+1tg⁡β+1\frac{\tg \beta}{1 + \tg \beta} + \frac{1}{\tg \beta + 1}

Pošto oba razlomka imaju isti imenilac (1+tg⁡β=tg⁡β+1 1 + \tg \beta = \tg \beta + 1 ), možemo ih sabrati.

tg⁡β+11+tg⁡β\frac{\tg \beta + 1}{1 + \tg \beta}

Skraćivanjem brojioca i imenioca dobijamo konačan rezultat.

11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti