2419.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡(π−α)cos⁡(π2−α)+cos⁡(2π−α)−sin⁡(π2+α)sin⁡(π2−α)−cos⁡(π2−α)=tg2α+1tg2α−1\frac{\sin(\pi - \alpha)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(2\pi - \alpha)} - \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)} = \frac{\text{tg}^2 \alpha + 1}{\text{tg}^2 \alpha - 1}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo redukcione formule na trigonometrijske funkcije na levoj strani jednakosti:

sin⁡(π−α)=sin⁡αcos⁡(π2−α)=sin⁡αcos⁡(2π−α)=cos⁡αsin⁡(π2+α)=cos⁡αsin⁡(π2−α)=cos⁡α\begin{aligned} \sin(\pi - \alpha) &= \sin \alpha \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) &= \sin \alpha \\ \cos(2\pi - \alpha) &= \cos \alpha \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) &= \cos \alpha \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) &= \cos \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u levu stranu jednakosti:

sin⁡αsin⁡α+cos⁡α−cos⁡αcos⁡α−sin⁡α\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}

Izvlačimo minus iz imenioca drugog razlomka kako bismo lakše našli zajednički imenilac:

sin⁡αsin⁡α+cos⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}

Svodimo na zajednički imenilac (sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡α−cos⁡α)=sin⁡2α−cos⁡2α: (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin \alpha - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha :

sin⁡α(sin⁡α−cos⁡α)+cos⁡α(sin⁡α+cos⁡α)sin⁡2α−cos⁡2α\frac{\sin \alpha (\sin \alpha - \cos \alpha) + \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Množimo izraze u brojiocu:

sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+sin⁡αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡2α−cos⁡2α\frac{\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Sređujemo brojilac i primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1: \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :

1sin⁡2α−cos⁡2α\frac{1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Sada transformišemo desnu stranu jednakosti koristeći definiciju tangensa tg α=sin⁡αcos⁡α: \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} :

sin⁡2αcos⁡2α+1sin⁡2αcos⁡2α−1\frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1}

Svodimo na zajednički imenilac u brojiocu i imeniocu:

sin⁡2α+cos⁡2αcos⁡2αsin⁡2α−cos⁡2αcos⁡2α\frac{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}

Skraćujemo cos⁡2α \cos^2 \alpha i primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 u brojiocu:

1sin⁡2α−cos⁡2α\frac{1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Pošto smo pokazali da su leva i desna strana jednake istom izrazu, identitet je dokazan.

1sin⁡2α−cos⁡2α=1sin⁡2α−cos⁡2α\frac{1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti