Dokaz identiteta sa razlikom dva razlomka

Primenjujemo redukcione formule na trigonometrijske funkcije na levoj strani jednakosti:

\begin{aligned} \sin(\pi - \alpha) &= \sin \alpha \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) &= \sin \alpha \\ \cos(2\pi - \alpha) &= \cos \alpha \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) &= \cos \alpha \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) &= \cos \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u levu stranu jednakosti:

\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}

Izvlačimo minus iz imenioca drugog razlomka kako bismo lakše našli zajednički imenilac:

\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}

Svodimo na zajednički imenilac $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin \alpha - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha :$

\frac{\sin \alpha (\sin \alpha - \cos \alpha) + \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Množimo izraze u brojiocu:

\frac{\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Sređujemo brojilac i primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :$

\frac{1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Sada transformišemo desnu stranu jednakosti koristeći definiciju tangensa $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} :$

\frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1}

Svodimo na zajednički imenilac u brojiocu i imeniocu:

\frac{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}

Skraćujemo $\cos^2 \alpha$ i primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ u brojiocu:

\frac{1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

Pošto smo pokazali da su leva i desna strana jednake istom izrazu, identitet je dokazan.

\frac{1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}

637