2473.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 669-676):

tg(45∘+x)−tg(45∘−x)tg(45∘+x)+tg(45∘−x)=2sin⁡xcos⁡x\frac{\text{tg}(45^\circ + x) - \text{tg}(45^\circ - x)}{\text{tg}(45^\circ + x) + \text{tg}(45^\circ - x)} = 2\sin x \cos x
REŠENJE ZADATKA

Koristimo adicione formule za tangens zbira i razlike uglova:

tg(45∘±x)=tg45∘±tgx1∓tg45∘tgx\text{tg}(45^\circ \pm x) = \frac{\text{tg} 45^\circ \pm \text{tg} x}{1 \mp \text{tg} 45^\circ \text{tg} x}

S obzirom da je tg45∘=1, \text{tg} 45^\circ = 1 , dobijamo sledeće izraze:

tg(45∘+x)=1+tgx1−tgx,tg(45∘−x)=1−tgx1+tgx\text{tg}(45^\circ + x) = \frac{1 + \text{tg} x}{1 - \text{tg} x}, \quad \text{tg}(45^\circ - x) = \frac{1 - \text{tg} x}{1 + \text{tg} x}

Zamenjujemo ove izraze u levu stranu (L) početnog identiteta:

L=1+tgx1−tgx−1−tgx1+tgx1+tgx1−tgx+1−tgx1+tgxL = \frac{\frac{1 + \text{tg} x}{1 - \text{tg} x} - \frac{1 - \text{tg} x}{1 + \text{tg} x}}{\frac{1 + \text{tg} x}{1 - \text{tg} x} + \frac{1 - \text{tg} x}{1 + \text{tg} x}}

Svodimo brojilac i imenilac na zajednički imenilac (1−tgx)(1+tgx): (1 - \text{tg} x)(1 + \text{tg} x) :

L=(1+tgx)2−(1−tgx)2(1−tgx)(1+tgx)(1+tgx)2+(1−tgx)2(1−tgx)(1+tgx)L = \frac{\frac{(1 + \text{tg} x)^2 - (1 - \text{tg} x)^2}{(1 - \text{tg} x)(1 + \text{tg} x)}}{\frac{(1 + \text{tg} x)^2 + (1 - \text{tg} x)^2}{(1 - \text{tg} x)(1 + \text{tg} x)}}

Skraćujemo zajednički imenilac i razvijamo kvadrate binoma u brojiocu i imeniocu:

L=(1+2tgx+tg2x)−(1−2tgx+tg2x)(1+2tgx+tg2x)+(1−2tgx+tg2x)L = \frac{(1 + 2\text{tg} x + \text{tg}^2 x) - (1 - 2\text{tg} x + \text{tg}^2 x)}{(1 + 2\text{tg} x + \text{tg}^2 x) + (1 - 2\text{tg} x + \text{tg}^2 x)}

Pojednostavljujemo dobijeni izraz sabiranjem sličnih članova:

L=4tgx2+2tg2xL = \frac{4\text{tg} x}{2 + 2\text{tg}^2 x}

Izvlačimo zajednički faktor u imeniocu i skraćujemo razlomak sa 2:

L=4tgx2(1+tg2x)=2tgx1+tg2xL = \frac{4\text{tg} x}{2(1 + \text{tg}^2 x)} = \frac{2\text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x}

Zamenjujemo tgx \text{tg} x sa sin⁡xcos⁡x: \frac{\sin x}{\cos x} :

L=2sin⁡xcos⁡x1+sin⁡2xcos⁡2xL = \frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}

Svodimo imenilac na zajednički imenilac:

L=2sin⁡xcos⁡xcos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2xL = \frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 i rešavamo dvojni razlomak:

L=2sin⁡xcos⁡x1cos⁡2x=2sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡2xL = \frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = 2\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x

Skraćivanjem dobijamo konačan izraz koji je jednak desnoj strani (D) identiteta, čime je dokaz završen:

L=2sin⁡xcos⁡x=DL = 2\sin x \cos x = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti