2472.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Ako je tgα=2+12−1, \text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} , tgβ=12 \text{tg} \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} i α,β∈(0,π2), \alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , dokazati da je α−β=π4. \alpha - \beta = \frac{\pi}{4} .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je α−β=π4, \alpha - \beta = \frac{\pi}{4} , možemo izračunati tangens razlike uglova α \alpha i β. \beta .

tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgαtgβ\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Prvo ćemo racionalisati izraz za tgα. \text{tg} \alpha .

tgα=2+12−1⋅2+12+1=(2+1)2(2)2−12\text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu.

tgα=2+22+12−1=3+22\text{tg} \alpha = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2\sqrt{2}

Takođe ćemo racionalisati izraz za tgβ. \text{tg} \beta .

tgβ=12⋅22=22\text{tg} \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Sada računamo razliku tangensa u brojiocu formule.

tgα−tgβ=3+22−22\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta = 3 + 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}

Svodimo na zajednički imenilac i sređujemo.

tgα−tgβ=6+42−22=6+322\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta = \frac{6 + 4\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{6 + 3\sqrt{2}}{2}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu.

tgα−tgβ=3(2+2)2\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta = \frac{3(2 + \sqrt{2})}{2}

Sada računamo imenilac formule.

1+tgαtgβ=1+(3+22)⋅221 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta = 1 + (3 + 2\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Množimo i svodimo na zajednički imenilac.

1+tgαtgβ=1+32+22⋅22=2+32+42=6+3221 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta = 1 + \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{2 + 3\sqrt{2} + 4}{2} = \frac{6 + 3\sqrt{2}}{2}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu.

1+tgαtgβ=3(2+2)21 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta = \frac{3(2 + \sqrt{2})}{2}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u formulu za tangens razlike.

tg(α−β)=3(2+2)23(2+2)2=1\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{3(2 + \sqrt{2})}{2}}{\frac{3(2 + \sqrt{2})}{2}} = 1

Znamo da su α,β∈(0,π2), \alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , pa je njihova razlika α−β∈(−π2,π2). \alpha - \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .

Jedini ugao u intervalu (−π2,π2) \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) čiji je tangens jednak 1 1 je π4. \frac{\pi}{4} .

α−β=π4\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti