2471.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati da je α+β+γ=π4, \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} , ako je tgα=112, \text{tg} \alpha = \frac{1}{12} , tgβ=25, \text{tg} \beta = \frac{2}{5} , tgγ=13, \text{tg} \gamma = \frac{1}{3} , gde su α, \alpha , β \beta i γ \gamma oštri uglovi.

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali traženu jednakost, prvo ćemo odrediti tangens zbira ova tri ugla. Počećemo računanjem tangensa zbira prva dva ugla, α \alpha i β, \beta , koristeći adicionu formulu:

tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Zamenom datih vrednosti za tgα \text{tg} \alpha i tgβ \text{tg} \beta dobijamo:

tg(α+β)=112+251−112⋅25\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{12} + \frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{12} \cdot \frac{2}{5}}

Sređivanjem izraza računamo vrednost tangensa:

tg(α+β)=5+24601−260=29605860=2958=12\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5 + 24}{60}}{1 - \frac{2}{60}} = \frac{\frac{29}{60}}{\frac{58}{60}} = \frac{29}{58} = \frac{1}{2}

Sada računamo tangens zbira sva tri ugla, posmatrajući ga kao tangens zbira ugla (α+β) (\alpha + \beta) i ugla γ: \gamma :

tg(α+β+γ)=tg(α+β)+tgγ1−tg(α+β)tgγ\text{tg}(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\text{tg}(\alpha + \beta) + \text{tg} \gamma}{1 - \text{tg}(\alpha + \beta) \text{tg} \gamma}

Zamenom izračunate vrednosti za tg(α+β) \text{tg}(\alpha + \beta) i date vrednosti za tgγ \text{tg} \gamma dobijamo:

tg(α+β+γ)=12+131−12⋅13\text{tg}(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}

Sređivanjem ovog izraza dobijamo:

tg(α+β+γ)=3+261−16=5656=1\text{tg}(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\frac{3 + 2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1

Pošto su α, \alpha , β \beta i γ \gamma oštri uglovi, i njihovi tangensi su manji od 1, zaključujemo da je svaki od njih manji od π4. \frac{\pi}{4} . Zbog toga je njihov zbir manji od 3π4: \frac{3\pi}{4} :

0<α+β+γ<3π40 < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{4}

Jedini ugao u intervalu (0,3π4) (0, \frac{3\pi}{4}) čiji je tangens jednak 1 je ugao od π4, \frac{\pi}{4} , čime je dokaz završen.

α+β+γ=π4\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti