678

Da bismo dokazali traženu jednakost, prvo ćemo odrediti tangens zbira ova tri ugla. Počećemo računanjem tangensa zbira prva dva ugla, $\alpha$ i $\beta ,$ koristeći adicionu formulu:

Zamenom datih vrednosti za $\text{tg} \alpha$ i $\text{tg} \beta$ dobijamo:

Sređivanjem izraza računamo vrednost tangensa:

Sada računamo tangens zbira sva tri ugla, posmatrajući ga kao tangens zbira ugla $(\alpha + \beta)$ i ugla $\gamma :$

Zamenom izračunate vrednosti za $\text{tg}(\alpha + \beta)$ i date vrednosti za $\text{tg} \gamma$ dobijamo:

Sređivanjem ovog izraza dobijamo:

Pošto su $\alpha ,$ $\beta$ i $\gamma$ oštri uglovi, i njihovi tangensi su manji od 1, zaključujemo da je svaki od njih manji od $\frac{\pi}{4} .$ Zbog toga je njihov zbir manji od $\frac{3\pi}{4} :$

Jedini ugao u intervalu $(0, \frac{3\pi}{4})$ čiji je tangens jednak 1 je ugao od $\frac{\pi}{4} ,$ čime je dokaz završen.