2058.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

cos⁡α1+sin⁡α+tg⁡α\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \tg \alpha
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo zapisati tangens preko sinusa i kosinusa koristeći osnovni identitet tg⁡α=sin⁡αcos⁡α. \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

cos⁡α1+sin⁡α+sin⁡αcos⁡α\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac, koji u ovom slučaju iznosi (1+sin⁡α)cos⁡α. (1 + \sin \alpha) \cos \alpha . Prvi razlomak proširujemo sa cos⁡α, \cos \alpha , a drugi sa 1+sin⁡α. 1 + \sin \alpha .

cos⁡α⋅cos⁡α+sin⁡α⋅(1+sin⁡α)(1+sin⁡α)cos⁡α\frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha + \sin \alpha \cdot (1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha) \cos \alpha}

Množimo članove u brojiocu kako bismo se oslobodili zagrada.

cos⁡2α+sin⁡α+sin⁡2α(1+sin⁡α)cos⁡α\frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{(1 + \sin \alpha) \cos \alpha}

Grupišemo kvadrate trigonometrijskih funkcija i primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

1+sin⁡α(1+sin⁡α)cos⁡α\frac{1 + \sin \alpha}{(1 + \sin \alpha) \cos \alpha}

Skraćujemo razlomak sa 1+sin⁡α 1 + \sin \alpha (uz pretpostavku da je 1+sin⁡α≠0 1 + \sin \alpha \neq 0 ) i dobijamo konačan uprošćen izraz.

1cos⁡α\frac{1}{\cos \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti