2059.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

2−cosec2 αtg⁡ α−1−cosec2 α+1\frac{2 - \text{cosec}^2 \, \alpha}{\tg \, \alpha - 1} - \text{cosec}^2 \, \alpha + 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izvesti vezu između kosekansa i kotangensa polazeći od osnovnog trigonometrijskog identiteta:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Deljenjem cele jednačine sa sin⁡2α \sin^2 \alpha dobijamo:

sin⁡2αsin⁡2α+cos⁡2αsin⁡2α=1sin⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}

Kako je cos⁡αsin⁡α=ctg⁡α \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha i 1sin⁡α=cosec α, \frac{1}{\sin \alpha} = \text{cosec} \, \alpha , sledi identitet:

1+ctg⁡2α=cosec2α1 + \ctg^2 \alpha = \text{cosec}^2 \alpha

Zamenjujemo dobijeni identitet u početni izraz:

2−(1+ctg⁡2α)tg⁡α−1−(1+ctg⁡2α)+1\frac{2 - (1 + \ctg^2 \alpha)}{\tg \alpha - 1} - (1 + \ctg^2 \alpha) + 1

Sređujemo izraz oslobađanjem od zagrada:

1−ctg⁡2αtg⁡α−1−ctg⁡2α\frac{1 - \ctg^2 \alpha}{\tg \alpha - 1} - \ctg^2 \alpha

Znamo da važi tg⁡α=1ctg⁡α. \tg \alpha = \frac{1}{\ctg \alpha} . Zamenjujemo to u imenilac razlomka:

1−ctg⁡2α1ctg⁡α−1−ctg⁡2α\frac{1 - \ctg^2 \alpha}{\frac{1}{\ctg \alpha} - 1} - \ctg^2 \alpha

Svodimo imenilac na zajednički imenilac:

1−ctg⁡2α1−ctg⁡αctg⁡α−ctg⁡2α\frac{1 - \ctg^2 \alpha}{\frac{1 - \ctg \alpha}{\ctg \alpha}} - \ctg^2 \alpha

Rešavamo dvojni razlomak:

ctg⁡α⋅(1−ctg⁡2α)1−ctg⁡α−ctg⁡2α\frac{\ctg \alpha \cdot (1 - \ctg^2 \alpha)}{1 - \ctg \alpha} - \ctg^2 \alpha

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na izraz 1−ctg⁡2α: 1 - \ctg^2 \alpha :

ctg⁡α⋅(1−ctg⁡α)(1+ctg⁡α)1−ctg⁡α−ctg⁡2α\frac{\ctg \alpha \cdot (1 - \ctg \alpha)(1 + \ctg \alpha)}{1 - \ctg \alpha} - \ctg^2 \alpha

Skraćujemo razlomak sa 1−ctg⁡α 1 - \ctg \alpha (uz pretpostavku da je ctg⁡α≠1 \ctg \alpha \neq 1 ):

ctg⁡α⋅(1+ctg⁡α)−ctg⁡2α\ctg \alpha \cdot (1 + \ctg \alpha) - \ctg^2 \alpha

Množimo i uprošćavamo preostali izraz čime dobijamo konačno rešenje:

ctg⁡α+ctg⁡2α−ctg⁡2α=ctg⁡α\ctg \alpha + \ctg^2 \alpha - \ctg^2 \alpha = \ctg \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti