Uprošćavanje trigonometrijskog izraza sa cosec α

Prvo ćemo izvesti vezu između kosekansa i kotangensa polazeći od osnovnog trigonometrijskog identiteta:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Deljenjem cele jednačine sa $\sin^2 \alpha$ dobijamo:

\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}

Kako je $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha$ i $\frac{1}{\sin \alpha} = \text{cosec} \, \alpha ,$ sledi identitet:

1 + \ctg^2 \alpha = \text{cosec}^2 \alpha

Zamenjujemo dobijeni identitet u početni izraz:

\frac{2 - (1 + \ctg^2 \alpha)}{\tg \alpha - 1} - (1 + \ctg^2 \alpha) + 1

Sređujemo izraz oslobađanjem od zagrada:

\frac{1 - \ctg^2 \alpha}{\tg \alpha - 1} - \ctg^2 \alpha

Znamo da važi $\tg \alpha = \frac{1}{\ctg \alpha} .$ Zamenjujemo to u imenilac razlomka:

\frac{1 - \ctg^2 \alpha}{\frac{1}{\ctg \alpha} - 1} - \ctg^2 \alpha

Svodimo imenilac na zajednički imenilac:

\frac{1 - \ctg^2 \alpha}{\frac{1 - \ctg \alpha}{\ctg \alpha}} - \ctg^2 \alpha

Rešavamo dvojni razlomak:

\frac{\ctg \alpha \cdot (1 - \ctg^2 \alpha)}{1 - \ctg \alpha} - \ctg^2 \alpha

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na izraz $1 - \ctg^2 \alpha :$

\frac{\ctg \alpha \cdot (1 - \ctg \alpha)(1 + \ctg \alpha)}{1 - \ctg \alpha} - \ctg^2 \alpha

Skraćujemo razlomak sa $1 - \ctg \alpha$ (uz pretpostavku da je $\ctg \alpha \neq 1$ ):

\ctg \alpha \cdot (1 + \ctg \alpha) - \ctg^2 \alpha

Množimo i uprošćavamo preostali izraz čime dobijamo konačno rešenje:

\ctg \alpha + \ctg^2 \alpha - \ctg^2 \alpha = \ctg \alpha

608.a