Odredi sin α i cos α ako je 3 sin α + 4 cos α = 5

Zapišimo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje sinus i kosinus ugla.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Iz date jednačine izrazimo $\sin \alpha$ preko $\cos \alpha .$

3 \sin \alpha = 5 - 4 \cos \alpha \implies \sin \alpha = \frac{5 - 4 \cos \alpha}{3}

Zamenimo dobijeni izraz za $\sin \alpha$ u osnovni trigonometrijski identitet.

\left( \frac{5 - 4 \cos \alpha}{3} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1

Kvadriramo izraz u zagradi.

\frac{25 - 40 \cos \alpha + 16 \cos^2 \alpha}{9} + \cos^2 \alpha = 1

Pomnožimo celu jednačinu sa 9 kako bismo se oslobodili razlomka.

25 - 40 \cos \alpha + 16 \cos^2 \alpha + 9 \cos^2 \alpha = 9

Sredimo jednačinu tako što ćemo grupisati slične članove.

25 \cos^2 \alpha - 40 \cos \alpha + 16 = 0

Prepoznajemo kvadrat binoma na levoj strani jednačine.

(5 \cos \alpha - 4)^2 = 0

Rešavamo jednačinu po $\cos \alpha .$

5 \cos \alpha - 4 = 0 \implies \cos \alpha = \frac{4}{5}

Sada kada imamo vrednost za $\cos \alpha ,$ vraćamo se u izraz za $\sin \alpha$ da bismo odredili njegovu vrednost.

\sin \alpha = \frac{5 - 4 \cdot \frac{4}{5}}{3}

Sređujemo izraz za $\sin \alpha .$

\sin \alpha = \frac{5 - \frac{16}{5}}{3} = \frac{\frac{25 - 16}{5}}{3} = \frac{\frac{9}{5}}{3}

Konačno, dobijamo vrednost za $\sin \alpha .$

\sin \alpha = \frac{3}{5}

607