Trigonometrijski izraz sa tg i ctg nije negativan

Zamenjujemo funkcije tangens i kotangens njihovim osnovnim definicijama preko sinusa i kosinusa:

\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Ubacujemo ove definicije u početni izraz:

\frac{\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cos \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}

Izvlačimo zajedničke činioce. U brojiocu izvlačimo $\sin \alpha ,$ a u imeniocu $\cos \alpha :$

\frac{\sin \alpha \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right)}{\cos \alpha \left(1 + \frac{1}{\sin \alpha}\right)}

Svodićemo izraze u zagradama na zajednički imenilac:

\frac{\sin \alpha \left(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha}\right)}{\cos \alpha \left(\frac{\sin \alpha + 1}{\sin \alpha}\right)}

Sređujemo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova:

\frac{\sin \alpha (\cos \alpha + 1) \cdot \sin \alpha}{\cos \alpha (\sin \alpha + 1) \cdot \cos \alpha}

Množenjem odgovarajućih članova dobijamo:

\frac{\sin^2 \alpha (\cos \alpha + 1)}{\cos^2 \alpha (\sin \alpha + 1)}

Grupišemo kvadrate sinusa i kosinusa koristeći definiciju tangensa:

\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha + 1} = \tg^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha + 1}

Analiziramo znak svakog činioca u dobijenom izrazu. Kvadrat bilo kog realnog broja (pa i tangensa) je uvek nenegativan:

\tg^2 \alpha \ge 0

Vrednosti funkcija sinus i kosinus su uvek u intervalu $[-1, 1] ,$ što znači da njihove minimalne vrednosti iznose $-1 .$ Zbog toga važi:

\cos \alpha \ge -1 \implies \cos \alpha + 1 \ge 0 \\ \sin \alpha \ge -1 \implies \sin \alpha + 1 \ge 0

Pošto su svi činioci u izrazu nenegativni (i imenilac je strogo pozitivan tamo gde je izraz definisan), zaključujemo da ceo izraz ne može biti negativan, čime je dokaz završen.

\tg^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha + 1} \ge 0

Započni učenje

Privatni časovi

606

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci