Kosinus dvostrukog ugla: cos 2α − sin 2α tg 2α

Polazimo od leve strane identiteta. Prvo ćemo izraziti tangens preko sinusa i kosinusa:

\text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Zamenjujemo ovo u početni izraz:

\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Množimo sinuse u drugom sabirku:

\cos 2\alpha - \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Svodimo izraze na zajednički imenilac, koji je $\cos 2\alpha :$

\frac{\cos 2\alpha \cdot \cos 2\alpha - \sin^2 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Sređujemo brojilac:

\frac{\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x ,$ gde je $x = 2\alpha .$ Tada brojilac postaje:

\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha

Zamenjujemo dobijeni brojilac nazad u razlomak:

\frac{\cos 4\alpha}{\cos 2\alpha}

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednačine, čime je identitet dokazan.

\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \text{ tg } 2\alpha = \frac{\cos 4\alpha}{\cos 2\alpha}

712.b