2564.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

cos⁡2α−sin⁡2α tg 2α=cos⁡4αcos⁡2α\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \text{ tg } 2\alpha = \frac{\cos 4\alpha}{\cos 2\alpha}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Prvo ćemo izraziti tangens preko sinusa i kosinusa:

tg 2α=sin⁡2αcos⁡2α\text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Zamenjujemo ovo u početni izraz:

cos⁡2α−sin⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Množimo sinuse u drugom sabirku:

cos⁡2α−sin⁡22αcos⁡2α\cos 2\alpha - \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Svodimo izraze na zajednički imenilac, koji je cos⁡2α: \cos 2\alpha :

cos⁡2α⋅cos⁡2α−sin⁡22αcos⁡2α\frac{\cos 2\alpha \cdot \cos 2\alpha - \sin^2 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Sređujemo brojilac:

cos⁡22α−sin⁡22αcos⁡2α\frac{\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla, cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x, \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x , gde je x=2α. x = 2\alpha . Tada brojilac postaje:

cos⁡22α−sin⁡22α=cos⁡(2⋅2α)=cos⁡4α\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha

Zamenjujemo dobijeni brojilac nazad u razlomak:

cos⁡4αcos⁡2α\frac{\cos 4\alpha}{\cos 2\alpha}

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednačine, čime je identitet dokazan.

cos⁡2α−sin⁡2α tg 2α=cos⁡4αcos⁡2α\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \text{ tg } 2\alpha = \frac{\cos 4\alpha}{\cos 2\alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti