2550.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

1+2cos⁡2α=sin⁡3αsin⁡α1 + 2 \cos 2\alpha = \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha}
REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo početi transformacijom desne strane identiteta. Prvo ćemo zapisati 3α 3\alpha kao zbir 2α+α. 2\alpha + \alpha .

sin⁡3αsin⁡α=sin⁡(2α+α)sin⁡α\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin(2\alpha + \alpha)}{\sin \alpha}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira uglova: sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y. \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y .

sin⁡(2α+α)sin⁡α=sin⁡2αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡αsin⁡α\frac{\sin(2\alpha + \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{\sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha}

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha i menjamo je u izraz.

sin⁡2αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡αsin⁡α=(2sin⁡αcos⁡α)cos⁡α+cos⁡2αsin⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡2α+cos⁡2αsin⁡αsin⁡α\frac{\sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha} = \frac{(2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha}

U brojiocu izvlačimo zajednički faktor sin⁡α. \sin \alpha .

2sin⁡αcos⁡2α+cos⁡2αsin⁡αsin⁡α=sin⁡α(2cos⁡2α+cos⁡2α)sin⁡α\frac{2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha (2 \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha)}{\sin \alpha}

Skraćujemo razlomak sa sin⁡α \sin \alpha (uz uslov da je sin⁡α≠0 \sin \alpha \neq 0 ).

sin⁡α(2cos⁡2α+cos⁡2α)sin⁡α=2cos⁡2α+cos⁡2α\frac{\sin \alpha (2 \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha)}{\sin \alpha} = 2 \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha

Sada ćemo transformisati sabirak 2cos⁡2α. 2 \cos^2 \alpha . Znamo iz osnovnog trigonometrijskog identiteta da je cos⁡2α=1−sin⁡2α, \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha , pa izraz možemo zapisati na sledeći način:

2cos⁡2α=cos⁡2α+cos⁡2α=cos⁡2α+(1−sin⁡2α)2 \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha + (1 - \sin^2 \alpha)

Preuređivanjem članova dobijamo izraz za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α. \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .

2cos⁡2α=1+(cos⁡2α−sin⁡2α)=1+cos⁡2α2 \cos^2 \alpha = 1 + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 1 + \cos 2\alpha

Vraćamo dobijeni rezultat u izraz iz kog smo krenuli.

2cos⁡2α+cos⁡2α=(1+cos⁡2α)+cos⁡2α=1+2cos⁡2α2 \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) + \cos 2\alpha = 1 + 2 \cos 2\alpha

Time smo pokazali da je desna strana jednaka levoj, čime je identitet uspešno dokazan.

1+2cos⁡2α=1+2cos⁡2α1 + 2 \cos 2\alpha = 1 + 2 \cos 2\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti