2550. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Dokaz ćemo početi transformacijom desne strane identiteta. Prvo ćemo zapisati $3\alpha$ kao zbir $2\alpha + \alpha .$

\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin(2\alpha + \alpha)}{\sin \alpha}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira uglova: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y .$

\frac{\sin(2\alpha + \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{\sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha}

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ i menjamo je u izraz.

\frac{\sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha} = \frac{(2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha}

U brojiocu izvlačimo zajednički faktor $\sin \alpha .$

\frac{2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha (2 \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha)}{\sin \alpha}

Skraćujemo razlomak sa $\sin \alpha$ (uz uslov da je $\sin \alpha \neq 0$ ).

\frac{\sin \alpha (2 \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha)}{\sin \alpha} = 2 \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha

Sada ćemo transformisati sabirak $2 \cos^2 \alpha .$ Znamo iz osnovnog trigonometrijskog identiteta da je $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha ,$ pa izraz možemo zapisati na sledeći način:

2 \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha + (1 - \sin^2 \alpha)

Preuređivanjem članova dobijamo izraz za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .$

2 \cos^2 \alpha = 1 + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 1 + \cos 2\alpha

Vraćamo dobijeni rezultat u izraz iz kog smo krenuli.

2 \cos^2 \alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) + \cos 2\alpha = 1 + 2 \cos 2\alpha

Time smo pokazali da je desna strana jednaka levoj, čime je identitet uspešno dokazan.

1 + 2 \cos 2\alpha = 1 + 2 \cos 2\alpha

712.v